Beth-Funktion

Die Beth-Funktion, benannt nach dem zweiten Buchstaben des hebräischen Alphabets und auch als $\beth$ geschrieben, ist eine in der Mengenlehre, genauer in der Theorie der Kardinalzahlen, verwendete Aufzählung gewisser unendlicher Kardinalzahlen.

Definition

Die Beth-Funktion ordnet jeder Ordinalzahl $\alpha$ eine wie folgt rekursiv definierte Kardinalzahl $\beth _{\alpha }$ zu:

• $\beth _{0}=\aleph _{0}$, wobei $\aleph _{0}$ die kleinste unendliche Kardinalzahl ist, siehe Aleph-Funktion.
• $\beth _{\alpha +1}=2^{\beth _{\alpha }}$ für Nachfolger-Ordinalzahlen $\alpha +1$. Dabei steht die rechte Seite für die Potenz von Kardinalzahlen.
• $\beth _{\lambda }=\sup _{\alpha <\lambda }\beth _{\alpha }$ für Limes-Ordinalzahlen $\lambda$.

Bemerkungen

Die Kontinuumshypothese ist gleichbedeutend mit $\aleph _{1}=\beth _{1}$, denn $\beth _{1}$ ist definitionsgemäß die Mächtigkeit der Potenzmenge einer abzählbaren Menge und daher gleichmächtig zum Kontinuum $\mathbb {R}$. Die verallgemeinerte Kontinuumshypothese ist äquivalent zu $\aleph =\beth$, das heißt $\aleph _{\alpha }=\beth _{\alpha }$ für alle Ordinalzahlen $\alpha$.

Eine Limes-Kardinalzahl $\kappa$ heißt ein starker Limes, wenn $\mu ^{\lambda }<\kappa$ für alle Kardinalzahlen $\lambda ,\mu <\kappa$. Eine Kardinalzahl $\kappa$ ist genau dann eine starke Limes-Kardinalzahl, wenn $\kappa =\beth _{\xi }$ für eine Limes-Ordinalzahl $\xi$ ist.

Es gilt $\alpha \leq \aleph _{\alpha }\leq \beth _{\alpha }$ für alle Ordinalzahlen $\alpha$. Man kann zeigen, dass es Fixpunkte geben muss, das heißt solche Ordinalzahlen $\alpha$, für die $\alpha =\beth _{\alpha }$ gilt. Der kleinste Fixpunkt ist der Limes der Folge $\beth _{0},\beth _{\beth _{0}},\beth _{\beth _{\beth _{0}}},\ldots$, der informal als $\beth _{\beth _{{}_{\ddots }}}$ dargestellt wird. Ebenso sind stark unerreichbare Kardinalzahlen Fixpunkte der Beth-Funktion.