Benutzer:Frogfol/spielwiese/In Arbeit/Modallogik G

Das modallogische System G (auch: KW) ist ein normales modallogisches System. Es weist einige Besonderheiten auf, wie zum Beispiel, dass es nicht kompakt und nicht kanonisch ist. Der Name spielt auf Kurt Gödel an, da in der Modallogik der Notwendigkeitsoperator im System G als beweisbar interpretiert wird. So lassen sich unter anderem die Ableitbarkeitsbedingungen (modallogisch interpretiert) in diesem System beweisen. Robert M. Solovay bewies in seinem Vollständigkeitssatz, dass G genau das arithmetische Beweisbarkeitsprädikat abbildet.

Definition

Das System G ist das System K, erweitert um das Schema

W:$\Box (\Box \phi \to \phi )\to \Box \phi$

für jede Formel $\phi .$

Der Satz von Löb lautet:

$\vdash _{PA}Bew(P)\to P\Rightarrow \vdash _{PA}P$

Ähnlich wie sich der erste Unvollständigkeitssatz in der Peano-Arithmetik selbst durchführen lässt und zum zweiten Unvollständigkeitssatz wird, kann man den Satz von Löb in der Peano-Arithmetik beweisen. Er lautet dann:

$\vdash _{PA}Bew((Bew(P)\to P))\to Bew(P)$

W ist dann die modallogische Umformulierung.

G ist nicht kanonisch

Ein modallogisches System wird kanonisch genannt, wenn der Rahmen des kanonischen Modells ein Rahmen für dieses modallogische System ist. Man kann zeigen, dass der kanonische Rahmen von G eine Welt w enthält, die alle anderen sieht, mit anderen Worten, dass wRw' für alle w' gilt. Auf einem Rahmen, die eine Welt enthält, die alle anderen sieht, lässt sich aber das Prinzip W durch eine geeignete Interpretation verletzen.

Ableitbarkeitsbedingungen

Die drei Ableitbarkeitsbedingungen in der Formulierung von Löb lauten:

• ${\text{D1: }}\vdash _{PA}\phi \Rightarrow \vdash _{PA}B(\phi )$
• ${\text{D2: }}\vdash _{PA}B(\phi \to \psi )\to (B(\phi )\to B(\psi ))$
• ${\text{D3: }}\vdash _{PA}B(\phi )\to B(B(\phi ))$

Sie lassen sich in ihrer modalisierten Form im System G beweisen. D1 ist die Necetiationsregel, D2 die Distributionsaxiome. D3 kann aussagenlogisch aus W gefolgert werden. Da in G aber noch der modalisierte Satz von Löb gilt, reflektiert das System G noch besser das Beweisbarkeitsprädikat der Peano-Arithmetik.

Literatur

• Ulf Friedrichsdorf: Einführung in die klassische und intensionale Logik. Vieweg, ISBN ISBN 3-528-06489-7(?!). 
• George Edward Hughes, Max Cresswell: Einführung in die Modallogik. De Gruyter, ISBN ISBN 3-11-004609-1(?!). 
• George Edward Hughes, Max Cresswell: A new introduction to modal logic. Routledge, London 1996, ISBN 0-415-12599-5 (gebunden) 0-415-12600-2 (Taschenbuch)(?!). 

Kategorie:Logik