Benutzer:Wolfgang Rubenbauer/M9

Rationale und irrationale Zahlen

Quadratwurzeln

Problemstellung

• In der 7. Klasse hat man gelernt die Gleichung $ax+b=0\Rightarrow x={\frac {-b}{a}}$ zu lösen.
• In der 8. Klasse hat man die Zuordnung (Funktion) mit dem Funktionsterm $y=ax+b$ behandelt (lineare Funktion).
  • graphische Darstellung (Gerade)
  • Nullstellen
  • Schnittpunkt zweier Geraden (lineares Gleichungssystem mit 2 Unbekannten)
• Welche Lösung hat die einfache quadratische Gleichung $x^{2}=a$ oder die allgemeine quadratische Gleichung $ax^{2}+bx+c=0$?

Die Quadratwurzel der Zahl 2

• Bestimmung der Lösung der quadratischen Gleichung $x^{2}=2$
• Bestimmung einer Näherungslösung mit Tabellenkalkulation
• Die exakte Lösung $x_{1}={\sqrt {2}}$ und $x_{2}=-{\sqrt {2}}$

Definition der Quadratwurzel

• $x^{2}=r\Rightarrow x_{1}={\sqrt {r}}$ und $x_{2}=-{\sqrt {r}}$

Die Quadratwurzel aus einer nicht negativen rationalen Zahl r ($r\epsilon \mathbb {Q} _{0}^{+}$) ist die nicht negative Lösung der Gleichung $x^{2}=r$, also diejenige nicht negative Zahl ${\sqrt {r}}$, deren Quadrat $r$ ergibt.

• ${\sqrt {r}}$ heißt Radikand der Wurzel.
• ${\sqrt {a^{2}}}=|a|$ Ist der Radikand das Quadrat einer beliebigen rationalen Zahl ist die Wurzel ebenfalls eine rationale Zahl, die nicht negativ sein darf.

Irrationale Zahlen und die Menge der reellen Zahlen

• Ist der Radikand einer Wurzel nicht das Quadrat einer rationalen Zahl, ist der Wert der Wurzel eine irrationale Zahl
• Eine irrationale Zahl ist ein **unendlicher nicht periodischer Dezimalbruch** der einer unendlichen Intervallschachtellung entspricht. (Tabellenkalkulationblatt)
• Rationale Zahlen $\mathbb {Q}$ bilden zusammen mit den irratioinalen Zahlen $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$ die reelllen Zahlen $\mathbb {R}$.
• Näherungswerte von Wurzeln lassen sich durch das Heronverfahren berechnen. (Tabellenkalkulationsblatt, Heron von Alexandria)
• TheSimpleMaths

Umgang mit Wurzeltermen

TheSimpleMaths

Näherungswerte

• Der Term ${\sqrt {5}}+{\sqrt {6}}$ lässt sich nicht weiter zusammenfassen, sondern nur näherungsweise berechnen.
• ${\sqrt {5}}+{\sqrt {6}}=2,2361+2,4495=4,6856$

Produkt bzw. Quotient von Wurzeln

• Produkte und Quotienten von Wurzeln lassen sich zusammenfassen.
• ${\sqrt {a}}\cdot {\sqrt {b}}={\sqrt {a\cdot b}}\,,(a,b\geqslant 0)$
• ${\frac {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}}={\sqrt {\frac {a}{b}}}\,,(a\geqslant 0,\,,b>0)$

Umformen von Summen und Differenzen von Wurzeln

• Summen und Differenzen von Wurzeln lassen sich zwar nicht zusammenfassen, aber durch Ausklammern umformen.
• $a{\sqrt {c}}+b{\sqrt {c}}=(a+b){\sqrt {c}}\,,(a,b\geqslant 0)$

Teilweises Radizieren

• TheSimpleMaths
• ${\sqrt {a^{2}\cdot b}}=|a|\cdot {\sqrt {b}}(b\geqslant 0)$

Rationalmachen des Nenners

• War interessant, als es noch keine Taschenrechner gab, da es problematisch war durch ein irrationale Zahl zu teilen. Heutzutage eher kosmetisch.
• ${\frac {3}{\sqrt {3}}}={\frac {3\cdot {\sqrt {3}}}{{\sqrt {3}}\cdot {\sqrt {3}}}}={\frac {3\cdot {\sqrt {3}}}{3}}={\sqrt {3}}$

Die Satzgruppe des Pythagoras

Der Satz des Pythagoras

Formulierung

• In einem rechtwinkligen Dreieck gilt, dass das Quadrat über der Hypotenuse c, also der Seite gegenüber dem rechten Winkel, die gleiche Fläche wie die Summe der Quadrate über den Katheten a und b hat.
• $c^{2}=a^{2}+b^{2}$

Beweise

• TheSimpleMaths
• Nachweis in Geogebra
• Wikipedia

Weitere Flächensätze zum rechtwinkligen Dreieck

Formulierungen und Beweise siehe Wikipedia

Berechnungen mit den Flächensätzen am rechtwinkligen Dreieck

• Im Schulbuch befinden sich unter der Rubrik "Zeig, was du kannst!" interessante Aufgaben mit Lösungen zu dem Thema.
• Bei Berechnungen mit den Flächensätzen geht es darum, rechtwinklige Dreiecke zu erkennen und die insgesamt 4 Flächensätze so anzuwenden, dass jeweils Gleichungen mit lediglich einer Unbekannten entstehen.

Quadratische Funktionen

Parabeln als Funktionsgraphen

• Die Normal-Parabel mit der Funktionsgleichung $y=x^{2}$ kann durch einen Öffnungsfaktor a unterschiedliche Öffnung erhalten ($y=a\cdot x^{2}$ mit $a>1$ enger, $0<a<1$ weiter, $a<0$ nach unten).
• Durch eine additive Konstante $y_{s}$ wird die Parabel $y=a\cdot x^{2}$in Richtung der y-Achse nach oben ($y_{s}>0$ )oder nach unten ($y_{s}<0$) verschoben ($y=a\cdot x^{2}+y_{s}$).
• Durch eine Konstante $x_{s}$ wird die Parabel $y=a\cdot x^{2}$in Richtung der x-Achse nach rechts ($x_{s}>0$ )oder nach links ($x_{s}<0$) verschoben ($y=a\cdot (x-x_{s})^{2}$).
• Die Parabel mit der Funktionsgleichung $y=a\cdot (x-x_{s})^{2}+y_{s}$ (Scheitelpunktsform)lässt sich in $y=a\cdot x^{2}-2ax_{s}x+ax_{s}^{2}+y_{s}$ umformen.
• Die Funktionsgleichung $y=a\cdot x^{2}+b\cdot x+c$ wird allgemeine Form der Parabelgleichung genannt, wobei $b=-2ax_{s}$ und $c=ax_{s}^{2}+y_{s}$ gilt.
• Aus der allgemeine Form $y=a\cdot x^{2}+b\cdot x+c$ der Parabelgleichung lässt sich aus $b=2ax_{s}$ und $c=ax_{s}^{2}+y_{s}$ der Scheitel der Parabel berechnen und somit die Scheitelpunktsform aufstellen.
• Erarbeitung der allgemeine Form der Parabelgleichung in einem Tabellenkalkulationsprogramm mit Anwendung
• Schräger Wurf als Anwendung (Basketballwurf, Animation)

Binomische Formeln und quadratische Ergänzung

• Bei der Umwandlung der Scheitelpunktsform $y=a\cdot (x-x_{s})^{2}+y_{s}$ einer quadratischen Funktion in die allgemeine Form muss mit $(x-x_{s})^{2}$ das Quadrat einer Differenz ausmultipliziert werden.
• Für das Ausmultiplizieren von Quadraten von Differenzen und Summen gelten die binomischen Formeln:
  • $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$
    Herleitung:$(a-b)^{2}=(a-b)(a-b)=a^{2}-ab-ba+b^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$
  • $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$
    Herleitung:$(a+b)^{2}=(a+b)(a+b)=a^{2}+ab+ba+b^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$
  • $(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$
    Herleitung:$(a+b)(a-b)=a^{2}-ab+ba-b^{2}=a^{2}-b^{2}$
  • Aufgaben:
    • $(2x+3y)^{2}=4x^{2}+12xy+9y^{2}$
    • $(4m-3n)^{2}=16m^{2}-24mn+9n^{2}$
    • $(4m-3n)(4m+3n)=16m^{2}-9n^{2}$

• Für die direkte Umformung der allgemeinen Form einer quadratischen Funktion in die Scheitelpunktsform benötigt man die quadratische Ergänzung, mit deren Hilfe ein allgemeiner Summenterm in ein Produkt verwandelt wird.
• Bei der quadratischen Ergänzung wird eine allgemeine Summe so ergänzt, dass durch eine der beiden ersten binomischen Formeln das Quadrat einer Summe oder Differenz entsteht.

Lösen quadratischer Gleichungen

Herleitung der Lösungsformel

• Eine Gleichung $ax^{2}+bx+c=0$ mit den reellen Koeffizienten $a\neq 0,b,c$ und der Unbekannten $x$ wird quadratische Gleichung genannt.
• Durch quadratische Ergänzung kann die Lösung einer quadratischen Gleichung ermittelt werden.(Lösungsformel mit Tabellenkalkulation)

Lösung mit der Lösungsformel

• In die Lösungsformel werden die Koeffizienten der quadratischen Gleichung eingesetzt.
• Lösungsweg für quadratische Gleichungen im Internet

Lösung einfacher Spezial-Fälle

• Für $b=0$ kann die quadratische Gleichung durch Umstellen gelöst werden.
• Für $c=0$ kann die quadratische Gleichung durch Ausklammern von $x$ (Faktorisierung) gelöst werden.
• In besonderen Fällen kann die quadratische Gleichung durch die direkte Anwendung der 1. oder 2. binomischen Formel gelöst werden ($x_{1}$ und $x_{2}$ haben in diesem Fall die gleiche Lösung.)

Schnitt von Parabeln mit Geraden

Kalkulation

Geometrische Körper-Oberflächen

Prisma und Zylinder

• Prisma und Zylinder haben jeweils gleiche Grund- wie Deckfläche, beim Prisma ein Vieleck und beim Zylinder ein Kreis.
• Der Mantel von Prisma und Zylinder ist jeweils ein Rechteck mit der Höhe von beiden als eine Seite. Die andere Seite entspricht beim Prisma dem Umfang des Vielecks und beim Zylinder dem Kreisumfang.
• Die Oberfläche setzt sich bei beiden aus Grund- und Deckfläche und dem Mantel zusammen: $O=M+2G$.
• Grund- und Deckfläche des jeweiligen Vielecks sind beim Prisma nur in besonderen Fällen berechenbar (Dreieck, Rechteck). Ein Prisma mit einem Rechteck als Grundfläche ist ein Quader.
• Für die Oberfläche eines Zylinders mit dem Radius $r$ und der Höhe $h$ gilt: $O_{Zylinder}=2\pi rh+2\pi r^{2}=2\pi r(h+r)$.

Pyramide und Kegel

• Pyramide und Kegel haben lediglich eine Grundfläche, keine Deckfläche, weshalb für die Oberfläche gilt: $O=M+G$.
• Der Mantel bei einem Kegel entspricht einem Kreissektor mit der Kante $s$ des Kegels als Radius und den Umfang des Kreises der Grundfläche (Kreis mit Radius $r$) des Kegels als Bogenlänge des Sektors (Skizze, Berechnung des Winkels des Kreissektors).
  • Der Winkel des Kreissektors verhält sich zu 360°wie die Fläche des Sektors zur Gesamtfläche des entsprechenden Kreises:
    ${\frac {\alpha }{360}}={\frac {M_{Kegel}}{\pi s^{2}}}$
  • Es gilt aber auch, dass der Winkel des Kreissektors sich zu 360°wie der Kreisbogen des Sektors (entspricht dem Umfang der Grundfläche des Kegels) zum Umfang des entsprechenden Kreises verhält:
  • ${\frac {\alpha }{360}}={\frac {2\pi r}{2\pi s}}$
  • ${\frac {M_{Kegel}}{\pi s^{2}}}={\frac {2\pi r}{2\pi s}}\Rightarrow M_{Kegel}=rs\pi$ (Video zur Berechnung des Mantel eines Kegels).
• Für die Oberfläche eines Kegels mit Radius $r$ und Kante $s$ ergibt sich: $O_{Kegel}=rs\pi +\pi r^{2}=\pi r(s+r)$ (Webseite zur Berechnung der Oberfläche eines Kegels)
• Die Oberfläche von Pyramiden lässt sich vernünftig nur für gerade Pyramiden (alle Seitenkanten sind gleich.) mit einer rechteckigen oder sogar quadratischen Grundfläche berechnen (Video zur Oberfläche einer Pyramide , Webseite zur Berechnung der Oberfläche einer Pyramide)
• Insbesondere interessant ist die Berechnung der Oberfläche einer geraden quadratischen Pyramide aus der Länge einer Quadratseite und einer Kante oder der Höhe der Pyramide (Kalkulation)

Geometrische Körper - Volumen

Volumen von Prisma und Zylinder

• Volumen ist direkt proportional zur Höhe.
• $V_{Prisma}=G\cdot h$
• $V_{Zylinder}=G\cdot h=\pi r^{2}h$
• Übungsaufgabe Buch S.156 Nr.1

Volumen von Pyramide und Kegel

• Volumen ist nicht direkt proportional zur Höhe.
• Herleitung des Volumens einer Pyramiden durch Scheiben (Tabellekalkulation)
  • ${\dfrac {a_{i}}{a}}={\dfrac {h_{i}}{h}}\Rightarrow a_{i}={\dfrac {{\frac {i}{n}}h}{h}}\cdot a={\dfrac {i}{n}}a$
  • $V_{i}=a_{i}^{2}\cdot d={\dfrac {i^{2}}{n^{2}}}a^{2}\cdot {\dfrac {h}{n}}={\dfrac {i^{2}}{n^{3}}}a^{2}h$
  • $V_{Pyramide}=V_{1}+V_{2}+...+V_{n}=(1^{2}+2^{2}+...+n^{2}){\dfrac {a^{2}h}{n^{3}}}$
  • Summe von Quadratzahlen: $s_{n}={\dfrac {n(n+1)(2n+1)}{6}}$ (Tabellenkalkulation)
  • $V_{Pyramide}={\dfrac {n(n+1)(2n+1)}{6}}\cdot {\dfrac {a^{2}h}{n^{3}}}={\dfrac {(1+{\frac {1}{n}})(2+{\frac {1}{n}})}{6}}\cdot a^{2}h={\dfrac {1}{3}}a^{2}h$ für n unendlich groß
    
• Herleitung des Volumens einer Pyramide durch Zerlegung eines Würfels in Pyramiden
• $V_{Pyramide}={\frac {1}{3}}G\cdot h$
• Ein Kegel lässt sich durch eine Pyramide mit einer Grundfläche als ein reguläres Vieleck mit beliebig vielen Ecken annähern, sodass auch für den Kegel $V_{Kegel}={\frac {1}{3}}G\cdot h={\frac {1}{3}}\pi r^{2}h$ gilt,

Erweiterung des Potenzbegriffs

Einführende Aufgabe

Welchen Durchmesser muss ein halbkreisförmiger Bogen haben, damit der aus ihm geformte Kegel ein Volumen von einem Liter hat. Lösung:

$V_{Kegel}={\frac {1}{3}}\pi r^{2}h$

$r$ und $h$ müssen durch die gegebenen Kegelkante $m$ ersetzt werden.

$M_{Kegel}=\pi mr\Rightarrow {\frac {1}{2}}\pi m^{2}=\pi mr\Rightarrow r={\frac {1}{2}}m$

$m^{2}=r^{2}+h^{2}\Rightarrow m^{2}={\frac {1}{4}}m^{2}+h^{2}\Rightarrow h={\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}m$

$V_{Kegel}={\frac {1}{3}}\pi \cdot {\frac {1}{4}}m^{2}\cdot {\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}m$

$V_{Kegel}={\frac {1}{24}}{\sqrt {3}}\pi \cdot m^{3}$

$m=({\frac {24V_{Kegel}}{3^{\frac {1}{2}}\pi }})^{\frac {1}{3}}$

Definition

• $a\geq 0$, $n\epsilon \mathbb {N}$
• $x^{n}=a\Rightarrow x=a^{\frac {1}{n}}$
• $x^{n}=a\Rightarrow x={\sqrt[{n}]{a}}$
• Beispiel für 3. Wurzel: $x^{3}=8\Rightarrow x=8^{\frac {1}{3}}\Rightarrow x=2$ oder $x={\sqrt[{3}]{8}}=2$

Potenzgesetze

$a,b\epsilon \mathbb {R}$ und $m,n\epsilon \mathbb {Q}$

1. $a^{n}\cdot a^{m}=a^{n+m}$
2. $a^{n}\div a^{m}=a^{n-m}$
3. $a^{n}\cdot b^{n}=(a\cdot b)^{n}$
4. $a^{n}\div b^{n}=(a\div b)^{n}$
5. $(a^{n})^{m}=a^{n\cdot m}$

Winkelsätze im rechtwinkligen Dreieck - Trigonometrie

Formulierung der Sätze

Wikipedia

In einem rechtwinkligen Dreieck mit dem rechten Winkel $\gamma$ und der Hypotenuse $c$, Ankathete $b$ und Gegenkathete $a$ gilt für den Winkel $\alpha$:

• $\sin \alpha ={\dfrac {a}{c}}$

• $\cos \alpha ={\dfrac {b}{c}}$

• $\tan \alpha ={\dfrac {a}{b}}$

• Die jeweiligen Werte für den Winkel $\alpha$ sind im Taschenrechner für die verschiedenen trigometrischen Funktionen sin, cos, und tan im Gradmaß abgespeichert (Die meisten Taschenrechner können auf Degree eingestellt werden.)
• Tabellenkalkulationsprogramme, Taschenrechner auf dem Smartphone und andere Computerprogramme können nicht mit dem Gradmaß rechnen, sondern rechnen im sogenannten Bogenmaß , bei dem ein Winkel über die Länge des entsprechenden Kreisbogens zu dem Winkel mit einem Radius 1 gemessen wird. Ein Winkel von 360° hat damit das Bogenmaß $2\pi$, ein Winkel von 180° damit $\pi$ und ein 90°-Winkel das Bogenmaß ${\frac {\pi }{2}}$.
• Allgemein gilt für die Umrechnung vom Bogenmaß ins Gradmaß : Winkel im Gradmaß=Winkel im Bogenmaß/$2\pi$*360

Beziehungen zwischen den trigonometrischen Funktionen

• Komplementbeziehung: $sin\varphi =cos(90^{0}-\varphi )$ bzw. $cos\varphi =sin(90^{0}-\varphi )$
• Die Komplementbeziehung gilt, weil die Winkel zwischen den Katheten und der Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck wegen der Winkelsumme im Dreieck zusammen 90° ergeben müssen.
• trigonometrischer Pythagoras: $(cos\varphi )^{2}+(sin\varphi )^{2}=1$\\

Die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks lassen sich jeweils als Produkt aus sin und cos eines Winkels zwischen der Hypotenuse und einer Kathete darstellen, was zusammen mit dem Pytagoras den trigonometrischen Patagoras ergibt.\\ ${\overline {AC}}^{2}+{\overline {CB}}^{2}={\overline {AB}}^{2}\Rightarrow ({\overline {AB}}cos\varphi )^{2}+({\overline {AB}}sin\varphi )^{2}={\overline {AB}}^{2}$

Besondere Werte für spezielle Winkel

• $sin30^{0}=cos60^{0}={\frac {1}{2}}$
• $cos30^{0}=sin60^{0}={\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}$
• $sin45^{0}=cos45^{0}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}$
• $tan30^{0}={\frac {1}{\sqrt {3}}},tan45^{0}=1,tan60^{0}={\sqrt {3}}$
• Nachweis über gleichschenklige (45°) und gleichseitige (60°) Dreiecke.

Übungsaufgaben zu den trigonometrischen Beziehungen

Berechnung der Winkel einer Diagonalen in einem Rechteck

• Messung in Geogebra
• Berechnung mit Tabellenkalkulation

Aufgaben Schulbuch

Siehe Aufgaben-Wiki

Vermessungsaufgaben

• Berechnungen von Höhe, Schatten und Steigung
• Berechnung der Fläche von Dreieck und Parallelogramm
• Siehe auch Aufgaben-Wiki

Zusammengesetzte Zufallsexperimente

• Zusammengesetzte Zufallsexperimente lassen sich mit einem Baumdiagramm darstellen.
• Pfadregeln für das Baumdiagramm
  • Entlang der Äste multiplizieren sich die Wahrscheinlichkeiten.
  • Die Wahrscheinlichkeiten an den Enden der Äste addieren sich
  • Die Summe der Wahrscheinlichkeiten an den Ästen ist 1.
• Die relativen Häufigkeiten ergeben die Wahrscheinlichkeiten.
• zweinmaliger Münzwurf als Tabellenkalkulation
• Augensumme beim zweimaligen Würfeln
• Ziegenproblem