Benutzer:Zìxué chéngcái/Lévy-Flug

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Ein Lévy-Flug, benannt nach dem französischen Mathematiker Paul Lévy, ist eine zufällige Schrittfolge in welcher die Schrittlänge eine Wahrscheinlichkeitsverteilung mit schweren Rändern hat. Wenn definiert als eine Schrittfolge in einem Raum mit einer Dimension größer als eins, werden die Schritte in isotropischen zufälligen Richtungen ausgeführt.

Der Begriff Lévy-Flug wurde geprägt von Benoît Mandelbrot , welcher diesen für eine spezifische Definition der Verteilung von Schrittgrößen verwendet hat. Er verwendete den Begriff Cauchy-Flug für den Fall, in welchem die Verteilung der Schrittgrößen eine Cauchy-Verteilung ist und Rayleigh-Flug für den Fall, in welchem die Verteilung eine Normalverteilung ist und somit kein Beispiel für eine Verteilung mit schweren Rändern.

Spätere Forscher haben die Nutzung des Begriffs Lévy-Flug erweitert um Fälle einzubeziehen, bei denen die zufällige Schrittfolge in einem diskreten Raster statt in einem durchgehenden Raum stattfindet.

Der spezielle Fall für den Mandelbrot den Begriff Lévy-Flug verwendet ist definiert durch die Überlebensfunktion der Verteilung der Schrittgrößen U mit

$\Pr(U>u)={\begin{cases}1&:\ u<1,\\u^{-D}&:\ u\geq 1.\end{cases}}$

Hier ist D ein Parameter bezogen auf die Fraktale Dimension und die Verteilung ein besonderer Fall der Pareto-Verteilung. Spätere Forscher erlauben eine beliebige Verteilung der Schrittgrößen für den Fall, in dem die Überlebensfunktion einen langen Schwanz hat. Vorlage:Citation needed

$\Pr(U>u)=O(u^{-k}),$

for some k satisfying 1 < k < 3. (Here the notation O is the Big O notation.) Such distributions have an infinite variance. Typische Beispiele sind symmetrische stabile Verteilungen.

Properties

Lévy flights are, by construction, Markov processes. For general distributions of the step-size, satisfying the power-like condition, the distance from the origin of the random walk tends, after a large number of steps, to a stable distribution due to the generalized central limit theorem, enabling many processes to be modeled using Lévy flights.

The probability densities for particles undergoing a Levy flight can be modeled using a generalized version of the Fokker–Planck equation, which is usually used to model Brownian motion. The equation requires the use of fractional derivatives. For jump lengths which have a symmetric probability distribution, the equation takes a simple form in terms of the Riesz fractional derivative. In one dimension, the equation reads as

${\frac {\partial \varphi (x,t)}{\partial t}}=-{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,t)\varphi (x,t)+\gamma {\frac {\partial ^{\alpha }\varphi (x,t)}{\partial |x|^{\alpha }}}$

where γ is a constant akin to the diffusion constant, α is the stability parameter and f(x,t) is the potential. The Riesz derivative can be understood in terms of its Fourier Transform.

$F_{k}\left[{\frac {\partial ^{\alpha }\varphi (x,t)}{\partial |x|^{\alpha }}}\right]=k^{\alpha }F_{k}[\varphi (x,t)]$

This can be easily extended to multiple dimensions.

Another important property of the Lévy is that of diverging variances in all cases except that of α = 2, i.e. Brownian motion. In general, the θ fractional moment of the distribution diverges if α < θ. Also,

$\langle |x|^{\theta }\rangle \propto t^{\theta /\alpha }{\text{ if }}\theta \leq \alpha .$

The exponential scaling of the step lengths gives Lévy flights a scale invariant property,Vorlage:Citation needed and they are used to model data that exhibits clustering.Vorlage:Citation needed

Figure 1. An example of 1000 steps of a Lévy flight in two dimensions. The origin of the motion is at [0,0], the angular direction is uniformly distributed and the step size is distributed according to a Lévy (i.e. stable) distribution with α = 1 and β = 0 which is a Cauchy distribution. Note the presence of large jumps in location compared to the Brownian motion illustrated in Figure 2.

Figure 2. An example of 1000 steps of an approximation to a Brownian motion type of Lévy flight in two dimensions. The origin of the motion is at [0, 0], the angular direction is uniformly distributed and the step size is distributed according to a Lévy (i.e. stable) distribution with α = 2 and β = 0 (i.e., a normal distribution).

Anwendung

The definition of a Lévy flight stems from the mathematics related to chaos theory and is useful in stochastic measurement and simulations for random or pseudo-random natural phenomena. Examples include earthquake data analysis, financial mathematics, cryptography, signals analysis as well as many applications in astronomy, biology, and physics.

Eine weitere Anwendung ist die Lévy-Flug-Futtersuche (Hypothese). Wenn Haie und andere Ozeanräuber kein Futter finden können, dann beenden sie ihre Brownian motion, the random motion seen in swirling gas molecules, für den Lévy-Flug — a mix of long trajectories and short, random movements found in turbulent fluids. Researchers analyzed over 12 million movements recorded over 5,700 days in 55 data-logger-tagged animals from 14 ocean predator species in the Atlantic and Pacific Oceans, including silky sharks, yellowfin tuna, blue marlin and swordfish. The data showed that Lévy flights interspersed with Brownian motion can describe the animals' hunting patterns. Birds and other animals (including humans) follow paths that have been modeled using Lévy flight (e.g. when searching for food). Biological flight data can also apparently be mimicked by other models such as composite correlated random walks, which grow across scales to converge on optimal Lévy walks. Composite Brownian walks can be finely tuned to theoretically optimal Lévy walks but they are not as efficient as Lévy search across most landscapes types, suggesting selection pressure for Lévy walk characteristics is more likely than multi-scaled normal diffusive patterns.

Efficient routing in a network can be performed by links having a Levy flight length distribution with specific values of alpha.

Siehe auch

• Verteilung mit schweren Rändern
• Lévy-Prozess
• Alpha-stabile Verteilungen
• Lévy-Flug-Futtersuche (Hypothese)

Referenzen

• Benoit B. Mandelbrot: The Fractal Geometry of Nature. Updated and augm. Auflage. W. H. Freeman, New York 1982, ISBN 0-7167-1186-9. 

Further reading

• G. Viswanathan, F. Bartumeus, S. v. Buldyrev, J. Catalan, U. Fulco, S. Havlin, M. Da Luz, M. Lyra, E. Raposo, H. Eugene Stanley: Lévy flight random searches in biological phenomena. In: Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. 314. Jahrgang, 2002, S. 208–213, doi:10.1016/S0378-4371(02)01157-3, bibcode:2002PhyA..314..208V. 
• G. Viswanathan, V. Afanasyev, S. Buldyrev, S. Havlin, M. Daluz, E. Raposo, H. Stanley: Lévy flights in random searches. In: Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. 282. Jahrgang, 2000, S. 1–12, doi:10.1016/S0378-4371(00)00071-6, bibcode:2000PhyA..282....1V. 
• Z. Cheng, R. Savit: Fractal and nonfractal behavior in Levy flights. In: Journal of Mathematical Physics. 28. Jahrgang, Nr. 3, 1987, S. 592, doi:10.1063/1.527644, bibcode:1987JMP....28..592C (umich.edu [PDF]). 
• Michael F. Shlesinger, Joseph Klafter, Gert Zumofen: Above, below and beyond Brownian motion. In: American Journal of Physics. 67. Jahrgang, Nr. 12, Dezember 1999, S. 1253–1259, doi:10.1119/1.19112, bibcode:1999AmJPh..67.1253S (caos.fs.usb.ve (Memento des Originals vom 28. März 2012 im Internet Archive)). 

Externe Links

• A comparison of the paintings of Jackson Pollock to a Lévy flight model

Category:Fraktale Geometrie Category:Markow-Prozesse Category:Paul Lévy (Mathematiker)