Binomischer Lehrsatz

Satz der Mathematik
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Der binomische Lehrsatz ist ein Satz der Mathematik, der es in seiner einfachsten Form ermöglicht, die Potenzen

als Polynom -ten Grades in den Variablen und auszudrücken. Die Bezeichnung rührt vom Ausdruck Binom, welches hier ist.

Binomischer Lehrsatz für natürliche Exponenten

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Für alle Elemente   und   eines kommutativen unitären Rings und für alle natürlichen Zahlen   gilt

 

Insbesondere gilt dies für reelle oder komplexe Zahlen   und   (mit der Konvention  ).

Die Koeffizienten dieses Polynomausdrucks sind die Binomialkoeffizienten

 ,

die ihren Namen aufgrund ihres Auftretens im binomischen Lehrsatz erhalten haben. Mit   ist hierbei die Fakultät von   bezeichnet.

Bemerkung

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Die Terme   sind dabei als Skalarmultiplikation der ganzen Zahl   an das Ringelement   aufzufassen, d. h. hier wird der Ring in seiner Eigenschaft als  -Modul benutzt.

Spezialisierung

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Der binomische Lehrsatz für den Fall   heißt erste binomische Formel.

Verallgemeinerungen

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  • Der binomische Lehrsatz gilt auch für Elemente   und   in beliebigen unitären Ringen, sofern nur diese Elemente miteinander kommutieren, d. h.   gilt.
  • Auch die Existenz der Eins im Ring ist verzichtbar, sofern man den Lehrsatz in folgende Form umschreibt:
 .

Der Beweis für jede beliebige natürliche Zahl   kann unter Ausnutzung der algebraischen Eigenschaften von Binomialkoeffizienten durch vollständige Induktion erbracht werden.[1] Anhand der kombinatorischen Deutung der Binomialkoeffizienten ergibt sich auch ein einfacher Abzählbeweis.[2] Für jedes konkrete   kann man diese Formel auch durch Ausmultiplizieren erhalten.

Beispiele

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 , wobei   die imaginäre Einheit ist.

Binomische Reihe, Lehrsatz für komplexe Exponenten

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Eine Verallgemeinerung des Satzes auf beliebige reelle Exponenten   mittels unendlicher Reihen ist Isaac Newton zu verdanken. Dieselbe Aussage ist aber auch gültig, wenn   eine beliebige komplexe Zahl ist.

Der binomische Lehrsatz lässt sich mithilfe der verallgemeinerten Binomialkoeffizienten   kompakt schreiben als

 

Diese Reihe heißt binomische Reihe und konvergiert für alle   mit   und  .

Im Spezialfall   geht Gleichung (2) in (1) über und ist dann sogar für alle   gültig, da die Reihe dann abbricht.

Gelegentlich wird als wissenschaftlicher Witz die Entdeckung oder Erfindung des binomischen Lehrsatzes einem Herrn Binomi zugeschrieben.[3]

Literatur

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Einzelnachweise

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  1. Stefan Hildebrandt: Analysis. Springer, 2013, ISBN 978-3-662-05694-3, S. 29-31
  2. Stasys Jukna: Crashkurs Mathematik: für Informatiker. Springer, 2007, ISBN 978-3-8351-0216-3, S. 52-55
  3. zum Beispiel in: Otto Forster und Florian Lindemann: Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. 13. Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden 2023, S. 456.