Beschreibung01 Quadratur des Kreises E-11.svg	Deutsch: Quadratur des Kreises, relativ einfach aber doch mit guter Genauigkeit English: Squaring the circle, relatively easy but with good accuracy
Datum	24. März 2023
Quelle	Eigenes Werk
Urheber	Petrus3743
SVG‑Erstellung InfoField	Der SVG-Code ist valide.   Dieses Diagramm wurde von Petrus3743 mit GeoGebra erstellt.   This SVG trigonometry uses the path text method.

Sie beruht auf der Näherung

${\displaystyle \pi \approx \left({\frac {10}{7}}\cdot {\sqrt {\frac {46643}{43100}}}\right)^{2}+\left({\frac {\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}{2}}\right)^{2}=3{,}141\;592\;653\;5{\color {red}94\;\ldots }.}$

Nach dem Ziehen des Einheitskreises (${\displaystyle r=1}$ [LE]) werden die x-Achse ${\displaystyle |AB|}$ und die y-Achse ${\displaystyle |CD|}$ eingetragen. Es folgen der Kreisbogen ${\displaystyle BEM}$ und die (nicht eingezeichnete) Mittelsenkrechte zwischen ${\displaystyle C}$ und ${\displaystyle E}$ mit Schnittpunkt ${\displaystyle F}$. Nun wird das Lot von ${\displaystyle F}$ auf ${\displaystyle |AB|}$ mit Fußpunkt ${\displaystyle G}$ gefällt. Das dadurch erzeugte rechtwinklige Dreieck ${\displaystyle MGF}$ hat wegen der Hypotenuse ${\displaystyle {\overline {FM}}=1}$ und des Winkels ${\displaystyle GMF=75^{\circ }}$ die Katheten ${\displaystyle {\overline {FG}}={\tfrac {\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}{2}}}$ und ${\displaystyle {\overline {MG}}={\tfrac {\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}{2}}}$. Die Strecke ${\displaystyle {\overline {FG}}}$ wird in ${\displaystyle H}$ halbiert. Um den oben beschriebenen Ansatz für die Näherung zu erhalten, stellt man sich ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse ${\displaystyle {\sqrt {\pi }}}$ und der kleinen Kathete ${\displaystyle {\overline {KL}}={\tfrac {\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}{2}}}$ vor. Mit dem Satz des Pythagoras gilt für die große Kathete ${\displaystyle {\overline {JK}}}$

${\displaystyle {\overline {JK}}={\sqrt {\pi -\left({\frac {\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}{2}}\right)^{2}}}=1{,}486\;129\;184\;054\;190\ldots \;\Rightarrow }$

${\displaystyle \;\;\;\approx {\frac {10}{7}}\cdot {\sqrt {\frac {46643}{43100}}}=1{,}486\;129\;184\;05{\color {red}5\;7\ldots }.}$

Die Länge der Kathete ${\displaystyle {\overline {JK}}={\frac {10}{7}}\cdot {\sqrt {\frac {46643}{43100}}}}$ ist mit Zirkel und Lineal konstruierbar (siehe Animation).

Weiter geht es mit dem Einzeichnen des rechtwinkligen Dreiecks anhand der jetzt bekannten Seiten. Hierzu wird zuerst der Punkt ${\displaystyle H}$ mithilfe einer Parallelen zur x-Achse ${\displaystyle |AB|}$ auf die y-Achse ${\displaystyle |CD|}$ projiziert, der Schnittpunkt ist ${\displaystyle I}$. Der darauf folgende Kreis mit dem Radius ${\displaystyle r={\tfrac {5}{7}}\cdot {\sqrt {\tfrac {46643}{43100}}}}$ schneidet die Parallele in ${\displaystyle J}$ und ${\displaystyle K}$. Die Halbgerade ab ${\displaystyle J}$ durch den Kreismittelpunkt ${\displaystyle M}$ und die in ${\displaystyle K}$ errichtete Senkrechte schneiden sich in ${\displaystyle L}$ und ergeben damit das Dreieck ${\displaystyle JLK}$. Der abschließende Kreis mit Radius ${\displaystyle |MJ|}$ ist der Inkreis des gesuchten Quadrates ${\displaystyle NOPQ}$.

Bei einem Kreis mit Radius r = 1 [LE]:

• In GeoGebra konstruierte Seite des Quadrates ${\displaystyle {\overline {A'H_{1}}}=a=1{,}772\;453\;850\;90{\color {red}6\;837}}$ [LE]
• Soll-Seite des Quadrates ${\displaystyle a_{s}={\sqrt {\pi }}\cdot 1=1{,}772\;453\;850\;905\;516\;027\;\ldots }$ [LE]
• Absoluter Fehler ${\displaystyle F=a-a_{s}=0{,}000\;000\;000\;001\;32\ldots =1{,}32\ldots }$ E-12 [LE]
• Fläche des konstruierten Quadrates ${\displaystyle A_{k}=a^{2}=3{,}141\;592\;653\;5{\color {red}94\;478\;\ldots }}$ [FE]
• Soll-Fläche des Quadrates ${\displaystyle A_{s}={\pi }\cdot 1=3{,}141\;592\;653\;589\;793\;238\;\ldots }$ [FE]
• Absoluter Fehler ${\displaystyle A_{k}-A_{s}=0,000\;000\;000\;004\;684\ldots =4{,}68\ldots }$ E-12 [FE]

Verdeutlichung:

• 11 Nachkommastellen sind gleich denen von ${\displaystyle {\sqrt {\pi }}}$ bzw. 10 Nachkommastellen sind gleich denen von ${\displaystyle \pi }$.
• Bei einem Kreis mit dem Radius r = 1 Mio. km wäre der Fehler der Seite a ≈ 1,3 mm
• Bei einem Kreis mit dem Radius r = 1 km wäre der Fehler der Fläche A ≈ 5 mm²

It is based on approximation

${\displaystyle \pi \approx \left({\frac {10}{7}}\cdot {\sqrt {\frac {46643}{43100}}}\right)^{2}+\left({\frac {\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}{2}}\right)^{2}=3.141\;592\;653\;5{\color {red}94\;\ldots }.}$

After drawing the unit circle (${\displaystyle r=1}$ [LE]), the x-axis becomes ${\displaystyle |AB|}$ and the y-axis ${\displaystyle |CD|}$ registered. This is followed by the arc ${\displaystyle BEM}$ and the (not shown) perpendicular bisector between ${\displaystyle C}$ and ${\displaystyle E}$ with the intersection ${\displaystyle F}$. Now the plumb line is dropped from ${\displaystyle F}$ to ${\displaystyle |AB|}$ with nadir ${\displaystyle G}$. The resulting right-angled triangle ${\displaystyle MGF}$ has cathetus ${\displaystyle {\overline {FG}}={\tfrac {\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}{2}}}$ and ${\displaystyle {\overline {MG}}={\tfrac {\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}{2}}}$ because of the hypotenuse ${\displaystyle {\overline {FM}}=1}$ and the angle ${\displaystyle GMF=75^{\circ }}$. The line segment ${\displaystyle {\overline {FG}}}$ is halved in ${\displaystyle H}$. To get the approximation approach described above, imagine a right triangle with the hypotenuse ${\displaystyle {\sqrt {\pi }}}$ and the minor cathetus ${\displaystyle {\overline {KL}}={\tfrac {\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}{2}}}$. With the Pythagorean theorem, ${\displaystyle {\overline {JK}}}$ applies to the major side

${\displaystyle {\overline {JK}}={\sqrt {\pi -\left({\frac {\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}{2}}\right)^{2}}}=1.486\;129\;184\;054\;190\ldots \;\Rightarrow }$

${\displaystyle \;\;\;\approx {\frac {10}{7}}\cdot {\sqrt {\frac {46643}{43100}}}=1.486\;129\;184\;05{\color {red}5\;7\;\ldots }.}$

The length of the cathetus ${\displaystyle {\overline {JK}}={\frac {10}{7}}\cdot {\sqrt {\frac {46643}{43100}}}}$ can be a straightedge and compass construction (see animation).

It continues with the drawing of the right-angled triangle using the now known sides. To do this, the point ${\displaystyle H}$ is first projected onto the y-axis ${\displaystyle |CD|}$ using a parallel to the x-axis ${\displaystyle |AB|}$, which is the point of intersection ${\displaystyle I}$. The following circle with radius ${\displaystyle r={\tfrac {5}{7}}\cdot {\sqrt {\tfrac {46643}{43100}}}}$ intersects the parallel in ${\displaystyle J}$ and ${\displaystyle K}$. The half-line from ${\displaystyle J}$ through the center of the circle ${\displaystyle M}$ and the perpendicular erected in ${\displaystyle K}$ intersect in ${\displaystyle L}$ and result in this triangle ${\displaystyle JLK}$. The final circle with radius ${\displaystyle |MJ|}$ is the incircle of the searched square ${\displaystyle NOPQ}$.

In a circle of radius r = 1 [unit length, ul]:

• In GeoGebra constructed side of the square ${\displaystyle {\overline {A'H_{1}}}=a=1.772\;453\;850\;90{\color {red}6\;837}}$ [ul]
• Target side of the square ${\displaystyle a_{s}={\sqrt {\pi }}\cdot 1=1.772\;453\;850\;905\;516\;027\ldots }$[ul]
• Absolute error ${\displaystyle F=a-a_{s}=0.000\;000\;000\;001\;32\ldots =1.32\ldots }$ E-12 [ul]
• Surface of the constructed square ${\displaystyle A_{k}=a^{2}=3.141\;592\;653\;5{\color {red}94\;478\;\ldots }}$ [unit area, ua]
• Target area of the square ${\displaystyle A_{s}={\pi }\cdot 1=3.141\;592\;653\;589\;793\;238\;\ldots }$ [ua]
• Absolute error ${\displaystyle A_{k}-A_{s}=0.000\;000\;000\;004\;684\ldots =4.68\ldots }$ E-12 [ua]

Clarification:

• 11 decimal places are equal to those of ${\displaystyle {\sqrt {\pi }}}$ respectively equal to those of ${\displaystyle \pi }$.
• In a circle of radius r = 1 Mio. km would be the fault of the side a ≈ 1.3 mm
• In the case of a circle with the radius r = 1 km would be the error of the surface A ≈ 5 mm²

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