Français : Appelés des dodécagones réguliers, quelques polygones ont douze côtés dans l’image.  Considérons deux dodécagones réguliers partageant leur centre et tous leurs sommets.  S’ils sont différents, l’un d’eux est convexe, l’autre est étoilé.  Un côté de l’un est une diagonale de l’autre.

Les heures sont numérotées de 1 à 12.  Il existe une correspondance biunivoque entre les côtés de l’horloge et ces nombres entiers, inscrits près des douze côtés.  Douze virages en épingle à cheveux peuvent aussi être numérotés de 1 à 12, le long d’une piste de course décagonale imaginaire, dont le plan est sur le cadran de l’horloge.  Un tel objet s’appellle un nœud en mathématiques.  Nous ne rencontrons aucune intersection le long de cette boucle, mais quarante-huit ponts.  Chaque ligne droite croise huit autres parties, en passant alternativement en dessous et au-dessus.  On voit le même nœud dans une autre version.  Ce nœud donne une information :  un polygone étoilé est bien un polygone.  Autrement dit, il s’agit d’une ligne brisée fermée :  les douze côtés de l’étoile peuvent être tracés sans lever le crayon.

Par exemple, si nous partons du virage numéro un, nous revenons au même virage numéro un après avoir parcouru toute la piste, exactement après cinq tours autour du centre.  Cette rotation peut être considérée comme la “transformation à l’identique”, autrement dit :  une rotation dont l’angle est nul modulo 360 degrés.  En passant d’un virage de la piste au suivant, nous tournons de 150 degrés autour du centre :  5 × 30° = 150°.  Et  12 × 150° = 5 × 360° = 0°  modulo 360°.  Pourvu que leurs centres coïncident, et que leurs angles soient égaux modulo 360 degrés, plusieurs rotations sont identiques.

En tournant dans le sens des aiguilles d’une montre, nous passons par les douze virages:  1, 6, 11, 4, 9, 2, 7, 12, 5, 10, 3, 8.  Quel que soit le nombre entier duquel nous partons, à la congruence près modulo 12, nous passons par les termes d’une progression arithmétique de raison  5  ou  7,  selon le sens de la rotation, soit dans le sens horaire, soit dans le sens inverse.  Les raisons  –5  et  +7  sont équivalentes :  –5 = +7  modulo 12.

S’il est maintenant neuf heures, il sera midi dans trois heures.  À la congruence près modulo 12, la suite  (9; 0; 3; 6)  est une progression arithmétique de raison  +3  ou  –9.  Les virages numérotés  9, 0, 3, 6,  sont les sommets d’un carré.  Aux similitudes près, il existe un seul quadrilatère régulier :  le carré, noté {4,1} en notation de Schläfli, et non {12,3}.  L’une des notations suivantes désigne un dodécagone régulier :  {12,1} s’il est convexe, sinon {12,5}.