Diskussion:Auswahlaxiom

Kein Sinn

Hallo Mellum. Bin bloß Physiker und kein Mathematiker, aber der jetzige Zustand der Beziehungen

$F:A\to \bigcup A$

so dass

$\forall x\in A:F(x)\in x.$

gibt für mich keinen Sinn. Kann das mal jemand checken?? Was soll denn $\bigcup A$ oder $F(x)\in x.$ bedeuten?? Die alte Formulierung galube ich noch verstanden zu haben. -- Wolfgangbeyer 22:40, 16. Mär 2004 (CET)

$A$ ist eine Menge. In der Mengenlehre ist das einzige, was eine Menge enthalten kann, andere Mengen. $\bigcup A$ ist die Vereinigung aller Mengen, die $A$ enthält. $F(x)\in x$ bedeutet, dass $F$ aus jeder Menge $x$ in $A$ ein Element auswählt. Vielleicht sieht $x$ nicht mengenhaftig genug aus? Oder wo ist das Problem? -- Mellum 22:56, 16. Mär 2004 (CET)

Hab's nochmal überarbeitet, so besser? -- Mellum 23:09, 16. Mär 2004 (CET)

ergibt immernoch keinen Sinn. in Worten steht da: 'es existiert eine Funktion F auf A, so dass für jedes x aus A gilt, dass F(x) "element aus x" ist'. dinge können elemente von Mengen sein, aber x selbst ist keine Menge sondern ein Element aus A. Wenn man es als Punktmenge auffasst, dann heißt es nur, dass F die Identität ist, weil der Funktionswert von x wiederum x selbst ist ... ist eventuell gemeint "F(A)=x"?

Wie schon gesagt, in der axiomatischen Mengenlehre ist das einzige, was eine Menge enthalten kann, andere Mengen. Es gibt keine "Dinge", die keine Mengen sind. --Mellum 00:24, 26. Okt. 2007 (CEST)

Wie schon gesagt, ergibt immernoch keinen Sinn. Was ergibt keinen Sinn? Tip: "F(x) Element aus x"

Sorry, ich sehe das Problem nicht. Geht es vielleicht etwas praeziser als "das ergibt keinen Sinn"? --Mellum 23:21, 8. Nov. 2007 (CET)

Sollte man die Bescheibung der Funktion nicht des einfacheren Verständnisses wegen so schreiben $F:A\to \bigcup _{X\in A}X$ und dann aber wieder hinzufügen?

Benutzer Mellum schreibt: „Es gibt keine "Dinge", die keine Mengen sind“. Sieh' Klasse (Mengenlehre). ﺀ 19:53, 5. Jul. 2008 (CEST)

In ZF mit Logik erster Ordnung verdienen echte Klassen mit Sicherheit nicht die Bezeichnung „Ding“. --Chricho 13:26, 30. Dez. 2010 (CET)

Mengen und Klassen werden definiert als Zusammenfassung von Objekten. Und das Wort Objekt ist eben ein anderes Wort für Ding. Es konnte auch gut heißen Zusammenfassung von Dingen. Z.B die Menge {Klasse aller Ordinalzahlen, Klasse aller Kardinalzahlen} enthält zwei Elemente die keine Mengen sind sondern andere Dinger.78.34.34.89 19:56, 1. Jan. 2011 (CET)

Eine solche Menge existiert aber nicht in ZFC. Und Mengen und Klassen werden auch nicht als Zusammenfassung von Objekten definiert. --Chricho 22:56, 1. Jan. 2011 (CET)

Für sowas bräuchtest du schon die Ackermann-Mengenlehre oder etwas vergleichbares, und ZFC und Neumann-Bernays-Gödel sind wesentlich gängiger. Übrigens wäre dein Beispiel auch in der Ackermann-Mengenlehre keine Menge. --Chricho 00:39, 2. Jan. 2011 (CET)

• Der Artikel Menge (Mathematik) fäng so an (Unterstreichung von mir):
  • Die Menge ist eines der wichtigsten und grundlegenden Konzepte der Mathematik. Man fasst im Rahmen der Mengenlehre einzelne „Elemente“ (beispielsweise Zahlen) zu einer Menge zusammen.
• Der Artikel Klasse (Mengenlehre) fäng so an (Unterstreichung von mir):
  • Als Klasse wird heute in der Mathematik, Klassenlogik und Mengenlehre eine Zusammenfassung beliebiger Objekte bezeichnet. Eine Klasse wird definiert durch eine logische Eigenschaft, die alle Objekte der Klasse erfüllen.
• Im Artikel Ackermann-Mengenlehre:
  • (...) dass echte Klassen auch Elemente anderer Klassen sein können (...)
    • Da jede Menge eine Klasse ist, ist die Menge {Klasse aller Ordinalzahlen, Klasse aller Kardinalzahlen} auch eine Klasse.
• Dies verwirrt mich bischen.
  • Nebenbei: interresant ist schon wie man wegen einer „unkonwentioneller“ Formulierung etwas erfahren kann womit man nicht gerechnet hat. Es ging mir hier nicht um das Wort Ding, sondern mehr darum welche Eigenschaften ein Objekt haben muß damit er ein Element einer Menge sein kann. Ich verstehe hierdurch, daß es Objekte gibt, die keine Elemente von irgendeiner (enlicher) Menge sein können. Dadurch habe ich das Gefühl etwas „mysteriösem“ zu begegnen. Konnte es sein, daß hier einfach ein Axiom fehlt?

78.34.34.89 19:06, 4. Jan. 2011 (CET)

Eine Klasse kann schon deswegen nicht eine Zusammenfassung beliebiger Objekte sein, weil zumindest Klassen nicht als Klassenelemente auftreten können (Russels Paradoxon).--93.133.235.37 14:18, 23. Apr. 2013 (CEST)

X

Der Artikel erklärt nicht, wofür $X$ steht.
Ciciban 10:13, 24. Nov 2004 (CET)

Doch, tut er: für ein Element der Menge $A$. -- Mellum 11:32, 24. Nov 2004 (CET)

Konstruktivismus

Ich glaube nicht, dass die Behauptung, der Konstruktivismus lehne das Auswahlaxiom ab, richtig oder jedenfalls treffend ist. Im Gegenteil glaube ich, dass das Auswahlaxiom aus konstruktivistischer Sicht eine Trivialität ist. (Ich bin selbst kein Konstruktivist, versuche aber einmal, mich in einen solchen hineinzudenken.)

Gegeben ist also A, eine Menge von nichtleeren Mengen, und gesucht ist eine Auswahlfunktion. Was heißt es aber, dass alle Mengen in A nicht leer sind? $(\forall x\in A)(\exists y):y\in x$. Aber was heißt denn der Existenzquantor $\exists y$? Für den klassischen Mathematiker bedeutet $\exists$ irgendeine nebulose "irgendwo-da-draußen"-Existenz, aber für den Konstruktivisten muss dieses y auch (in Abhängigkeit von x natürlich) auf den Tisch gelegt werden. Das heißt nun, dass es eine Konstruktion von y aus x gibt, also auch eine Auswahlfunktion.

Aber ich warte lieber einmal auf die Bestätigung eines Berufeneren, bevor ich im Artikel etwas ausbessere... --Wuzel 17:06, 7. Sep 2005 (CEST)

Ich korrigiere mich. Wie ich auf en:Axiom of Choice bzw ursprünglich unter [1] sehe, impliziert das Auswahlaxiom zumindest im Intuitionismus das Tertium non datur, daher ist AC intuitionistisch nicht beweisbar:

Sei nämlich P eine beliebige Aussage, und betrachten wir die Menge

• M= {A, B}, wobei
• A = { x in {0,1}: x=0 oder P}
• B = { x in {0,1}: x=1 oder P}.

(Aus klassischer Sicht ist also M={ {0,1} } wenn P gilt, und M={ {0},{1} } wenn P nicht gilt.)

Sowohl A wie auch B sind nicht leer, also gibt es nach AC eine Auswahlfunktion f. Wegen "f(A) in A" muss

• f(A)=0 oder P

gelten, ebenso f(B)=1 oder P. Daraus kann man (auch intuitionistisch)

• [ f(A)=0 und f(B)=1 ] oder P

schließen, somit auch

• [f(A) ≠ f(B) ] oder P.

Aus P folgt aber A={0,1} =B, also f(A)=f(B). Also

• Wenn P, dann f(A)=f(B).

daher

• Wenn [f(A) ≠ f(B) ], dann "non-P".

Also gilt: "non-P" oder P.

Wuzel 12:56, 26. Sep 2005 (CEST)

Ich weise darauf hin, dass es von dem jeweiligen Axiomensystem einer intuitionistischen Mengenlehre und von der Formulierung des Auswahlaxioms abhängt, ob das Tertium-non-datur folgt, es gibt durchaus intuitionistische Mengenlehren mit Auswahlaxiom oder beschränktem Auswahlaxiom. --Chricho 02:12, 31. Dez. 2010 (CET)

Auswahlfunktion = Endomorphismus ?

Ist die Auswahlfunktion ein Endomorphismus, der von X nach X abbildet ? Wenn ja, was ist dann das Besondere an ihr ? -- Amtiss, SNAFU ? 15:45, 23. Jan 2006 (CET)

F(X) ordnet nicht Elementen aus X Elemente aus X zu sondern der ganzen Menge X ein Element aus X. --Wolfgangbeyer 22:23, 23. Jan 2006 (CET)

Relevante Fälle? Sehr verwirrend...

Die Aufzählung für das Auswahlaxiom relevanter Fälle ist ziemlich schwach, denn: Die ersten beiden Beispiele sind ja grade nicht relevant (wegen endlich bzw. abzählbar), das dritte hingegen schon, und grade beim dritten wird der Eindruck erweckt, das Auswahlaxiom sei nicht relevant. Die gewählten Beispiele könnten kaum verwirrender sein. PS: Man kann Elemente eben nicht einfach wählen (nach dem Motto: "Da nehm ich einfach immer den Mittelpunkt des Intervalls..."), gerade darum gehts ja im Auswahlaxiom. Letztendlich fusst alles auf den (z.B. Zermelo-Fraenkel-) Axiomen, der Rest der Mathematik ist formales Symbolgeschiebe, deshalb muss man mit Interpretationen nach dem Motto "da wähl ich einfach ..." äusserst vorsichtig sein.--128.101.154.21 22:59, 6. Mär 2006 (CET)

Zum Auswahlaxiom äquivalente Sätze

nicht alle der aufgefuehrten saetze sind zum auswahlaxiom aequivalent (zumindest nicht unter zf). Die aussage, dass jeder vektorraum eine basis besitzt ist beispielsweise schwaecher.

so aus der versions geschichte:

1. Zu jeder Abbildung f einer Menge A nach B gibt es eine Teilmenge C in A, s.d. f|C injektiv ist.

das kann nicht stimmen, weil man für C eine einelementige Teilmenge nehmen kann, und dafür braucht man bestimmt kein Auswahlaxiom

würde mal behaupten genau für die auswahl eines elements (oder einer ein elementigen teilmenge) aus einer unendlichen menge braucht man das auswahlaxiom lg Wdvorak 18:00, 8. Dez. 2006 (CET)

Nein so ist das nicht. Bitte die Formulierung im Artikel einmal genau anschauen. Gruß, Wasseralm 20:52, 8. Dez. 2006 (CET)

hallo nochmal - mag mit der formulierung im artikel nicht sofot klar sein gibt aber die äquivalente Formulierung des AC

$\forall X\ \exists f:P(X)\rightarrow X:\left(\forall Y\subseteq X:Y\not =\varnothing \Rightarrow f(Y)\in Y\right)$ (http://info.tuwien.ac.at/goldstern/ml1/ml1.pdf Seite 15)

Was ja nichts anderes ist als die Auswahl eines Elements

AC => Satz müsste nach deiner Argumentation mit der ein elementigen Menge stimmen

Satz => AC (in dieser formulierung) würde ich über eine konstante Funktion f: A -> {x} argumentieren bildet man hier die "injektive" Teilmenge von A so hat man ein Element ausgewählt

vermutlich sollte man aber $A,C\not =\varnothing$ verlangen lg Wdvorak 15:10, 9. Dez. 2006 (CET)

Ja, aber es geht beim Auswahlaxiom nicht darum, aus A ein Element "auszuwählen", sondern die Existenz einer Funktion zu beweisen, die aus jeder (nichtleeren) Teilmenge von A ein Element auswählt, und das geht mit dieser Argumentation nicht.

Ich weiß nicht, ob du ursprünglich diesen Punkt in den Artikel eingetragen hast, aber vielleicht liegt nur eine Missformulierung vor. Gibt es denn eine Quelle für diese Aussage? Gruß, Wasseralm 19:43, 9. Dez. 2006 (CET)

der satz ist nicht von mir deshalb hab ich leider auch keine quellen (was ja die sache erheblich vereinfachen würde) - bin nur der überzeugung dass er stimmt - werde das aber mal mit ein paar Kollegen diskutieren und mich dann wieder melden lg Wdvorak 19:04, 11. Dez. 2006 (CET)

Noch eine Anmerkung: Es gibt sehr viele, vielleicht hunderte, von Aussagen, die zu AC äquivalent sind. Der Artikel kann nur die mathematisch bedeutsamsten und prägnantesten aufführen. Gruß, Wasseralm 21:35, 11. Dez. 2006 (CET)

Der Satz

• Zu jeder Abbildung f einer Menge A nach B gibt es eine Teilmenge C in A, s.d. f|C injektiv ist.

ist tatsächlich nicht äquivalent zum Auswahlaxiom, wie schon erwähnt wurde. Gemeint war wohl die folgende Aussage:

• (1) Zu jeder Abbildung f einer Menge A nach B gibt es eine Teilmenge C in A, s.d. f|C injektiv ist, und f|C den selben Wertebereich hat wie f.

oder, wenn man statt B gleich die Wertemenge nimmt:

• (2) Zu jeder surjektiven Abbildung f einer Menge A auf B gibt es eine Teilmenge C in A, s.d. f|C bijektiv von C auf B ist.

Die Umkehrung dieser Abbildung f|C ist nämlich genau eine in der Formulierung

• (3) Jede surjektive Funktion hat ein Rechts-Inverses

geforderte Rechtsinverse. Mir scheint es nicht notwendig, sowohl (2) als auch (3) zu erwähnen. --Wuzel 11:13, 12. Dez. 2006 (CET)

Aha, endlich kommt Klarheit in die Sache. Ich finde auch, (3) ist die griffigere Formulierung und reicht auch im Artikel. Gruß, Wasseralm 12:16, 12. Dez. 2006 (CET)

Um nochmal was von ganz oben aufzugreifen: Die aussage, dass jeder vektorraum eine basis besitzt ist beispielsweise schwaecher.? :Zumindest aus der (stärkeren, aber meist auch stattdessen aus AC gezeigten) Aussage, dass jedes Erzeugendensystem eines Vektorraums eine Basis enthält, folgt AC: Sei $A$ eine Menge paarweise disjunkter leerer Mengen. Setze $U=\bigcup A$. Sei $K$ ein Körper mit $U\subseteq K^{\times }$ (etwa $K=\mathbb {R} [U]$ unter der rechtfertigbaren Voraussetzung, dass $U\cap \mathbb {R} =\emptyset$). Sei $V=\{f:A\to K\mid f(B)=0{\mbox{ für fast alle }}B\in A\}$. Zu $B\in A$ gibt es $f_{B}\in V$ mit $f_{B}(x)=1$, wenn $x=B$, $f(x)=0$ sonst. Dann bilden die Vektoren der Form $a\cdot f_{B}$ mit $a\in B$ ein Erzeugendensystem. Sei ${\mathcal {B}}$ eine hierin enthaltene Basis. Zu jedem $B\in A$ gibt es dann genau ein $a\in B$ mit $a\cdot f_{B}\in {\mathcal {B}}$. Somit haben wir eine Auswahlfunktion.--Hagman (Diskussion) 21:43, 26. Jun. 2012 (CEST)

Hallo, der Beweis ist für mich nicht nachvollziehbar. 1. Wie konstruierst du diese Körpererweiterung da? (naja, gibt jedenfalls beliebig große Körper, also unwichtig) 2. Wofür multiplizierst du da mit dem $a$, das macht doch absolut nichts aus, wenn es nicht gerade null ist. Ansonsten: Ja, es ist äquivalent, siehe hier. --Chricho ¹ ² ³ 01:55, 27. Jun. 2012 (CEST)

Cooler, kurzer und eleganter Beweis!--Frogfol (Diskussion) 23:08, 6. Aug. 2012 (CEST)

Was verstehst du denn nicht? Zu deinen Fragen: 1. Die Körpererweiterung ist einfach eine transzendente Erweiteurung (irgendeines beliebigen Körpers). Die Wahl ist auch nicht unwichtig, denn unter diesem erweiterten Körper ist $\{a\cdot f_{B},c\cdot f_{B'}\}$ genau dann linear abhängig, wenn B=B'.2. Die Multiplikation ist ebenfalls wichtig, aber nicht um ein Erzeugendensystem zu bekommen (das ginge auch ohne Skalar), sondern um gewissermaßen die Information zu kodieren, woher dieser Vektor kommt. Dadurch kann aus einer Basis eine Auswahlfunktion konstruiert werden. Ich hoffe, das hilft dir. --Frogfol (Diskussion) 23:08, 6. Aug. 2012 (CEST)

Ich war wohl erstmal syntaktisch verwirrt, weil ich unter $R[U]$ üblicherweise den Polynomring verstehe und unter $R(U)$ den Körper (wenn $R$ (komischer Name) denn ein Körper ist), und dann habe ich nicht mehr ernsthaft versucht zu verstehen, was du meinst (und mich gewundert, dass du so viele abhängige Dinger einführst, was ja aber gerade der Trick an der Sache ist). Sieht richtig aus. Schön! :) --Chricho ¹ ² ³ 23:24, 6. Aug. 2012 (CEST)

Wobei ich nicht der ursprüngliche Autor bin, das war Hagman. Ich hatte es nur gerade gelesen, verstanden und versucht zu erklären^^. Und ja, $K=\mathbb {R} [U]$ war ein typo von Hagman, es hätte natürlich $K=\mathbb {R} (U)$ heißen müssen.--Frogfol (Diskussion) 23:37, 6. Aug. 2012 (CEST)

Der Basissatz (Jeder Vektorraum besitzt eine Basis.) ist eine schwächere Aussage als der Satz (das so genannte „downward basis principle“): Jedes Erzeugendensystem eines Vektorraums $V$ enthält eine Basis von $V$. Dass der zweite Satz äquivalent zum Auswahlaxiom bzw. dem Zornschen Lemma ist, ist schon länger bekannt: ich hatte in meinem Mathematik-Studium 1991 genau zu diesem Thema einen Seminarvortrag! Damals war aber noch unbekannt, ob aus dem Basissatz und/oder dem Dimensionssatz (Je zwei Basen eines Vektorraumes sind gleichmächtig.) das Auswahlaxiom gefolgert werden kann. Aus dem Dimensionssatz ohne den Basissatz geht das sicher nicht, das hatte man schon mit Mitteln der Topologie bewiesen.

Hagman benutzt oben aber das „downward basis principle“ und nicht den Basissatz. Für den Beweis benötigt man übrigens das Lemma: Zu jeder Menge $M$ existiert ein Körper $K$ mit $|M|\leq |K^{\times }|$. Dazu baut man sich für $|M|>2$ zuerst aus $M\setminus \{0,1\}$ und $\mathbb {N}$ einen nullteilerfreien, kommutativen Ring $R$ mit Eins und bildet dann dessen Quotientenkörper $K$. Dann ist $|M|\leq |R^{\times }|\leq |K^{\times }|$ – Wenn also niemand einen Beweis dafür hat, dass aus dem Basissatz das Auswahlaxiom folgt, dann darf auch nicht behauptet werden, dass diese äquivalent seien! --RPI (Diskussion) 11:52, 24. Jul. 2013 (CEST)

Wertebereich

Im Artikel ist der Definitionsbereich der Auswahlfunktion erwähnt. Was ist der Wertebereich?

siehe Wertebereich, Wasseralm 20:11, 16. Jan. 2008 (CET)

Ich meinte: Was ist der Wertebereich der Auswahlfunktion? 85.3.161.241 20:36, 16. Jan. 2008 (CET)

relativ konsistent und unabhängig

Man kann Gödels und Cohens Resultate auch so zusammenfassen: Sowohl A als auch nicht-A sind relativ konsistent zu ZF. Also ist A unabhängig von ZF. Soll man diese Formulierungen nicht erwähnen?--AlfonsGeser 23:12, 24. Mai 2008 (CEST)

Was isn relativ konsistent? :-) Die Unabhängigkeit von A könnte noch stärker betont werden, ansonsten sagt der Artikel ganz korrekt:

'Kurt Gödel zeigte 1937, dass das Auswahlaxiom im Rahmen der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre keinen Widerspruch ergibt, wenn man die Widerspruchsfreiheit aller übrigen Axiome annimmt. 1963 aber zeigte Paul Cohen, dass auch die Negation (also das "Gegenteil") des Auswahlaxioms nicht zu einem Widerspruch führt. Beide Annahmen sind also vom formalistischen Standpunkt aus akzeptabel.'

Beachte, dass die Widerspruchsfreiheit der übrigen nur angenommen werden kann und während deine "Verkürzung" eine "globale" W.freiheit andeutet. --χario 20:09, 27. Mai 2008 (CEST)

Ich habe obige Aussage des Artikels nicht kritisiert. Den Begriff der relativen Konsistenz habe ich im Zusammenhang mit Cohens Resultat zum Auswahlaxiom in Wolfram Pohlers Mengenlehre gefunden. Eine Aussage A heißt relativ konsistent zum Kalkül K, wenn aus der Konsistenz von K die Konsistenz von $K\cup A$ folgt. Dass ich da etwas verkürzt hätte ist mir nicht bewusst. Kannst Du mir genauer sagen, wie Du das meinst?--AlfonsGeser 20:38, 27. Mai 2008 (CEST)

Ich habe die Textstelle angeführt, weil die Tatsache durchaus im Artikel erwähnt wird und mMn nicht durch deine kürzere Variante ersetzt werden sollte. Mir war aber nicht bewusst, dass "relativ konsistent" ein mathematischer Begriff und du wohl gar nicht vorhattest, dass als erklärende Bemerkung einzufügen, sondern bei den mathematischen Aussagen. Dann würd ichs vielleicht als letzten Punkt unter Bemerkungen hinschreiben und dann " Genauer gesagt..." und dann kommen die beiden Text-Abschnitte. Was meinen andere? --χario 20:51, 27. Mai 2008 (CEST)

Von einer Kürzung war nie die Rede. Damit ich nicht weiter mißverstanden werde, gebe ich hier ganz konkret wieder, wie ich mir den Umbau des Absatzes vorgestellt habe.

Kurt Gödel zeigte 1937, dass das Auswahlaxiom im Rahmen der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre keinen
Widerspruch ergibt, wenn man die Widerspruchsfreiheit aller übrigen Axiome annimmt. Man sagt dazu auch,
das Auswahlaxiom sei "relativ konsistent" zun den übrigen Axiomen. 1963 aber zeigte [[Paul Cohen
(Mathematiker)|Paul Cohen]], dass auch die Negation (also das "Gegenteil") des Auswahlaxioms nicht zu einem
Widerspruch führt, also relativ konsistent ist. Beide Annahmen sind also vom formalistischen Standpunkt aus
akzeptabel: Das Auswahlaxiom ist "unabhängig" von ZF.

Kommentare dazu sind willkommen! --AlfonsGeser 21:36, 27. Mai 2008 (CEST)

Find ich gut so. Wird deutlicher dargestellt was Sache ist. Relativ konsistent (Oder Relative Widerspruchsfreiheit?) könnte wohl eine Weiterleitung nach Konsistenz besser gesagt nach Widerspruchsfreiheit vertragen und dort auch etwas deutlicher erwähnt werden. --χario 18:02, 29. Mai 2008 (CEST)

Auswahlfunktion

(kopiert aus Benutzer_Diskussion:Xario von --AlfonsGeser 23:03, 28. Mai 2008 (CEST))

Xario, Du hast wieder einen meiner Edits rückgängig gemacht. Ich rede von dieser Stelle:

Beispielsweise ist es nicht allgemein möglich, für eine beliebige Menge von Teilmengen $\mathbb {R}$ eine
Auswahlfunktion explizit anzugeben. 

Für welche der überabzählbar vielen Mengen von Teilmengen der reellen Zahlen gibt es denn nun angeblich keine Auswahlfunktion? Für manche gibt es ja eine. Soll der Leser raten? Ich habe die nebulöse Andeutung durch eine verbindliche klare Aussage ersetzt: Die Potenzmenge ohne die leere Menge (also der größte Kandidat) ist ein Beispiel. Ich halte das für eine ganz deutliche Verbesserung der Qualität der Aussage. Was bitte soll daran unverständlich sein?--AlfonsGeser 21:58, 28. Mai 2008 (CEST)

Ich finde die Aussage die oben inner Box zitiert ist sehr viel stärker als ein Beispiel. Zusätzlich finde ich das Potenzmengenbeispiel als solches nicht schlecht, es hat aber einige Schwierigkeiten: Die Potenzmenge (auch ohne leere Menge) ist echt größer als IR, liegt der Mangel der Auswahlfunktion etwa daran? Warum ohne leere Menge? Was wäre der Unterschied wenn man die dabei hätte? Und schließlich fällt kein Licht auf die überabzählbarvielen Auswahlen von Teilmengen von R, die man niemals in in endlich vielen Worten überhaupt charakterisieren könnte.

Aber nichts spricht gegen eine sinnvolle Einarbeitung in den Artikel. Falls du hierdrauf antworten willst, kopier diese Diskussion bitte auf die vom Artikel, damit auch andere Interessierte (wenn es denn welche gibt) ihre Meinung abgeben können. --χario 22:11, 28. Mai 2008 (CEST)

Hiermit geschehen.

Nein, die Aussage in der Box ist schwächer als ein Beispiel. Sie behauptet nur die Existenz eines Beispiels.

Zu Deinen Fragen :

1. Es hat damit zu tun, dass man keine Wohlordnung zu R angeben kann.
2. "ohne leere Menge", weil es sich um eine Menge nichtleerer Mengen handeln soll.
3. Man kann die Definition der Auswahlfunktion so abändern, dass die leere Menge "umgangen" wird, dann ist die leere Menge auch zulässig.
4. Da hast Du recht. Ich weiß keine Lösung für dieses Problem. Was sagen Spezialisten dazu?--AlfonsGeser 23:03, 28. Mai 2008 (CEST)

Die leicht abgewandelte Version unter alternative Formulierung finde ich sehr clever, wobei ich nicht weiß, ob das tatsächlich äquivalent ist. Die Fragen waren eher exemplarisch gemeint, was in einem Beispiel alles noch erwähnt werden könnte/sollte. Um das noch zu vervollständigen:

1. Ist natürlich klar. Aber wäre dann nicht ein Beispiel schöner, dass die Mächtigkeit von R hat?
2. Ach ja, die sollten ja nicht-leer sein....
3. Das nichtleer ist also nicht so wesentlich...

Auch die jetzige die Formulierung

Die Potenzmenge einer beliebigen Menge ohne die leere Menge hat eine Auswahlfunktion.

läßt mich stolpern über das ohne die leere Menge. So als wäre das ECHT wichtig und für die Potenzmenge gäbe es eine Auswahlfunktion. Wisst ihr was ich meine? --χario 18:22, 29. Mai 2008 (CEST)

OK, Xario. Hier ist Deine Aufgabe: Formuliere die Definition der Auswahlfunktion so um, dass die Menge A auch die leere Menge enthalten darf. Es ist nicht schwer.--AlfonsGeser 18:34, 29. Mai 2008 (CEST)

Nicht, wenn ich der Einzige bin, der es etwas holprig findet. Und nicht ohne Lit, die das schon vor-formuliert hat. Vielleicht gibts ja Fallstricke die ich übersehe. :-) Übrigens, auch die Aufgabenauswahl läuft eigenverantwortlich ;-) --χario 19:27, 29. Mai 2008 (CEST)

Du traust Dich wohl nicht, hm? Schau mal im Pohlers nach.--AlfonsGeser 20:56, 29. Mai 2008 (CEST)

Sag mal?! Wenn du damit ausdrücken willst, dass du es nicht holprig findest, ok. Wenn du den Pohlers hast (und kennst! Ich weiß nämlich nicht welche Standartliteratur du damit meinst), warum zitierst du nicht einfach kurz? Ich mache generell keine Bearbeitungen, um einen hüpothetischen Mangel an Mut auszugleichen. --χario 20:30, 30. Mai 2008 (CEST)

PS: Ahhh, Wolfram Pohler, na den hast du doch offensichtlich bei dir rumliegen! Aber ich betone nochmal, dass ich die Formulierung erstmal nur zur Diskussion stellen will, wenns alle so gut/besser wissen/finden ist das auch ok, aber es hat sich halt noch keiner dazu geäußert :-) --χario 20:37, 30. Mai 2008 (CEST)

Die Potenzmenge einer beliebigen Menge ohne die leere Menge hat eine Auswahlfunktion. Diese Aussage ist falsch. Hier Gegenbeispiel:
- gegeben ist Menge { a, b }
- die Potenzmenge ist { {}, { a }, { b }, { a, b } }
- die Potenzmenge ohne die leere Menge ist { { a }, { b }, { a, b } } und enthält 3 Elemente { a }, { b } und { a, b }
- die Auswahlfunktion: aus der ersten Menge wird a gewählt, aus der zweiten b und aus der dritten ...(?).
ﺀ 20:17, 5. Jul. 2008 (CEST)

als Auswahlfunktion F würde ich folgendes vorschlagen F({a})=a, F({b})=b, F({a,b})=a -- es wird ja keine Injektivität der Auswahlfunktion gefordert - Wdvorak 17:02, 6. Jul. 2008 (CEST)

Es gibt also in dem Beispiel sogar zwei Auswahlfunktionen. Da kann man sich nun echt nicht beklagen. --Jobu0101 (Diskussion) 17:50, 22. Nov. 2014 (CET)

Wirklich "alternativ"?

Die erste "alternative Formulierung" verlangt "eine Menge von paarweise disjunkten nicht leeren Mengen", die ursprüngliche verlangt nur "nichtleer". Ohne ganz tief eingedrungen zu sein: Können beide Formulierungen wirklich äquivalent sein? -- Wegner8 09:19, 10. Dez. 2008 (CET)

Zusammenhang zwischen Schrödingers Katze und dem AC?

Kann man einen Zusammenhang zwischen dem AC und Schrödingers Katze konstruieren? These: Die Menge der quantenmechanischen Zustände konstruiert die Auswahlfunktion, die darüber entscheidet, ob die Katze tot oder lebendig ist. --Mnntoino 13:41, 18. Dez. 2010 (CET)

Nein. --Chricho 18:02, 30. Dez. 2010 (CET)

NPOV

„Letztlich steht in der Mathematik aber nicht zur Debatte, ob ein Axiom richtig oder falsch ist, sondern nur, ob es mehr oder weniger nützlich ist.“
Das ist wohl die persönliche, pragmatisch formalistische Meinung eines Autoren, nicht jedoch allgemein anerkannt. --Chricho 13:28, 30. Dez. 2010 (CET)

Ich bin der Meinung dass das allgemein unter Mathematikern so gesehen wird. Hab ich auch def. schon in Vorlesungen so vermittelt bekommen. Gilt nat. nur für zeitgenössische Mathe.... --χario 15:55, 30. Dez. 2010 (CET)PS: Vieleicht missverstehe ich dich aber auch, was würdest du denn formulieren wollen?

Ich würde den Satz weglassen oder relativieren mit „in den Augen vieler Mathematiker“ o.ä., mag sein, dass es vielen Mathematikern auch einfach nicht so wichtig ist, und sie halt ihre Algebra oder was auch immer machen. --Chricho 18:01, 30. Dez. 2010 (CET)

Ich nicht. Axiome sind nicht wahr oder falsch. Sie sind widersprüchlich, unintuitiv, nutzlos, elegant oder sonstwas. Wahr und falsch sind sachlich falsche Labels bezüglich (ordentlich formulierten) Axiomen. --χario 18:18, 30. Dez. 2010 (CET)

Was meinst du mit wahr oder falsch? im Sinne klassischer Logik ist ein Axiomensystem schon wahr oder falsch… Aber das tut nichts zur Sache, außer dass vllt. klar wird, dass die Formulierung mit „wahr“ und „falsch“ nicht so sinvoll ist, weil sie an Logik gebunden ist. Ein Konstruktivist würde auch nicht sagen, dass Auswahlaxiom sei falsch, es ist immerhin relativ konsistent zu ZF nach allem was wir wissen. Aber er würde vllt. behaupten, die Folgerungen klassischer Logik mit ZFC seine bedeutungslos, weil ihr Wahrheitsbegriff für ihn keine Bedeutung hat o.ä. All solche Argumente mit einem Satz, dass Axiome nicht wahr oder falsch seien, in einem Wikipedia-Artikel totzuschlagen, halte ich für unangemessen. --Chricho 18:34, 30. Dez. 2010 (CET)

Platonismus ist also ein neutralerer Standpunkt als pragmatischer Formalismus?? --Daniel5Ko 21:35, 30. Dez. 2010 (CET)

Nein, es sind beides persönliche, nicht neutrale Standpunkte. Nur weil die meisten Mathematiker Formalisten sind, ist das nicht die Wahrheit, ebenso wenig wie Materialismus, nur weil vllt. die meisten Menschen Materialisten sind. Auch Formalismus hat Schwächen, um Logik zu formalisieren braucht man z.B. Logik und Logik prägt unser Denken auch ohne Formalismen. Es ist nicht korrekt, das als ultimativen Standpunkt darzustellen. --Chricho 12:59, 31. Dez. 2010 (CET)

Generell ist das doch eher ein Sachverhalt der bei Axiom diskutiert werden sollte. Chricho geht es ja um den oben zitierten Satz, der den Sachverhalt imho knapp und präzise wiedergibt. Im Gegensatz zu meiner etwas polemischen Ausführung, die ja auch nicht in den Artikel soll. Chricho, könntest du mal genauer argumentieren/belegen, was am Satz dir nicht passt? Welche Mathematiker vertreten eine andere Sichtweise? --χario 22:05, 30. Dez. 2010 (CET)

Nachtrag: "...dass die Formulierung mit „wahr“ und „falsch“ nicht so sinvoll ist..." DAS ist genau der Punkt, das sagt der Satz aus und mir ist kein zeitgenössischer Mathematiker bekannt, der das nicht so sehen würde. --χario 22:10, 30. Dez. 2010 (CET)

Der Satz steht da doch eindeutig antithetisch zum Konstruktivismus und beinhaltet mehr oder minder die Aussage, dass konstruktivistische Forderungen falsch sind, wenn sie die in der Mathematik mehr als Formalismus fordern. Zudem kann es Ansichten geben, die in der Mathematik die Erkundung einer Art trenszendentaler Wahrheit suchen, zu der ein Axiom womöglich wirklich nicht passen kann. Es geht hier ja um Philosophie, es steht ja auch nicht im Artikel zum Platonismus, dieser sei falsch, weil die meisten Philosophen andere Meinungen vertreten. --Chricho 22:39, 30. Dez. 2010 (CET)

Wenn Menschen daran glauben, dass nur intuitionistische Logik aussagefähig ist, ist das (unbeschränkte) Auswahlaxiom auch falsch, wenn aus ihm Tertium-non-datur folgt… --Chricho 22:43, 30. Dez. 2010 (CET)

Oben schreibst du doch, auch ein Konst. würde das AA nicht als "Falsch" bezeichnen.?!? Wieso schreibst du denn "eindeutig antithetisch zum K." ?! Imho ist er genau das nicht! Was manche Menschen glauben mögen oder nicht oder ob sie eine womögliche Erkundung einer transzendentalen Wahrheit unternehmen oder nicht, ist für Mathematiker (und um deren Ansichten dreht sich der Satz ja) nicht von Belang. Ich war übrigens der Ansicht, wir reden hier über Mathematik und nicht über Philosophie.... Könntest du mir jetzt einen Mathematiker (oder einen math. Themenbereich) nennen, der dem Satz nicht zustimmen würde? Wir kommen nämlich nicht so richtig weiter... --χario 23:04, 30. Dez. 2010 (CET)

Anderes falsch, im Sinne von klassischer Logik und ZF würde er es als möglich anerkennen, und nicht als falsch bezeichnen, aber vllt. die ganze Konstruktion ablehnen. Natürlich geht es da um Philosophie der Mathematik. Und dann zu sagen, dass sei für Mathematiker nicht von Belang, ist wie zu sagen, der Kollaps der Wellenfunktion sei für Physiker nicht relevant, weil es die Rechnungen nicht verändert oder so etwas. Kannst ja einmal ein paar Mathematiker fragen, ob logische Wahrheit unabhängig von logischen Formalismen existiert, es wird bestimmt der ein oder andere zustimmen, unter Physikern vllt. etwas mehr. Siehe auch en:Hilary_Putnam#Philosophy_of_mathematics, „One must have ontological commitments to mathematical entities.“, er behauptet wohl irgendwie, dass die mathematischen Objekte in der Natur auf gewisse Weise notwendig sind. Da hättest du deinen anerkannten Mathematiker, der kein Formalist ist. Zur Antithese: Es ist doch eindeutig, dass der Satz aussagt, die ganze Diskssion sei müßig und konstruktivistische prinzipielle Einwände seien nicht von Belang. Noch ein Zitat von einer aktuellen Person: „Mathematics is derived from experience as a generalization of observed regularities, when time and particularity are removed.“ (en:Lee_Smolin). Es gibt einfach Leute, die das Auswahlaxiom ablehnen, und der legitimen Möglichkeit, das Auswahlaxiom aus philosophischen Gründen abzulehnen, sollte man Rechnung tragen. --Chricho 01:55, 31. Dez. 2010 (CET)

Also ich sehe das ganze ungefähr so:

• Auch konstruktivistisch und intuitionistisch bleiben Wahrheiten relativ zum gewählten formalen System (z.B. Calculus of (co)inductive constructions wie im Beweisassistenten Coq). Irgendwo müssen ja die Konstruier- und Beweisbarkeitsregeln herkommen. Wenn man nun in einem solchen System z.B. Geometrie axiomatisiert, hat hat man keine Chance, die "Richtigkeit" oder "Falschheit" der Axiome festzustellen. Das Auswahlaxiom ist ohne Selbstveräppelung nicht formulierbar, da es natürlich auch konstruktiv sein müsste. Daher steht die Frage nach dessen Wahrheit gar nicht.
• Für Platonisten stellt sich die Frage nach richtig oder falsch nicht. Axiome sind immer richtig in dem Sinne, dass sie "selbstverständlich einleuchtend" sind ("Axiom im Sinne eines evidenten Grundsatzes" in Axiom) oder zumindest falsifizierbar ("Axiom im Sinne eines allgemeinen Naturgesetzes" in Axiom)

Wie auch immer,

„Letztlich steht in der Mathematik aber nicht zur Debatte, ob ein Axiom richtig oder falsch ist, sondern nur, ob es mehr oder weniger nützlich ist.“

ist mit diesen beiden Sichtweisen kompatibel, und überhaupt kein POV. Denn: Beim "eigentlichen" Mathematik-Treiben sind Axiome fest, aber man kann sie eben vorher je nach Realität/Geschmack/whatever festlegen. --Daniel5Ko 01:48, 31. Dez. 2010 (CET)

Mengenlehre ist also kein Mathematik-Treiben, da stehen die Axiome schonmal nicht fest? Dass das für die Mathematikern in Unternehmensberatungen nicht so relevant ist, ist klar. Siehst du in dem Satz nicht eine Antithese zum Konstruktivismus? Die Platonisten sollten ein generelles philosophisches Beispiel sein, das bezog sich nicht auf das Auswahlaxiom. Der Satz impliziert auf jeden Fall nicht optimal, sonst hätte ich mich nicht so darüber gestört. --Chricho 01:55, 31. Dez. 2010 (CET)

Das Finden von Axiomen für eine noch so tolle Mengenlehre, die ausdrucksstark genug und widerspruchsfrei ist, ist Voodoo, dem besser mit mehr (auch einschränkender) Struktur begegnet wird. Ich sehe da keine Antithese zum Konstruktivismus. Ganz im Gegenteil. --Daniel5Ko 02:37, 31. Dez. 2010 (CET)

Sprachlich eine Antithese („aber“!), es liest sich so, als sei das gegen Konstruktivismus. --Chricho 18:56, 31. Dez. 2010 (CET)

„hat hat man keine Chance, die "Richtigkeit" oder "Falschheit" der Axiome festzustellen“, aber man kann das ganze Vorgehen in Frage stellen, die Mathematik z.B. aus der reinen Zeichenmanipulation herausholen und als aus der Natur begründet zu sehen (Naturalismus), oder man kann Finitist sein, und in einem umgangssprachlichen Sinne ist die Herangehensweise mit diesem Axiom dann „falsch“, du kannst sowieso nicht einfach von einem logischen „falsch“ sprechen, wenn unklar ist, was für Logik man zulässt. --Chricho 02:00, 31. Dez. 2010 (CET)

Die Erwähnung von "wahr" und "falsch" hast Du in diese Diskussion eingeführt. Das macht eh alles noch viel komplizierter. :) Ich dachte, der ursprüngliche Stein des Anstoßes war nicht vorhandene Neutralität. Die gilt es aus meiner Sicht immer noch nachzuweisen. --Daniel5Ko 02:31, 31. Dez. 2010 (CET)

Um das klarzustellen: Ich bringe weder für Naturalismus noch für Finitismus viel Verständnis auf. --Chricho 02:10, 31. Dez. 2010 (CET)

In allen deinen Bsps wird das AA aus ästhetischen Gründen abgelehnt, z.B weil sie es unnütz finden (weils "nicht-existierende Dinge" zum Inhalt hat) aber nicht weil sie sagen können, es sei falsch. Innermathematischer Diskurs über Axiome findet statt aber es werden keine Glaubenskriege mehr um Axiome geführt. Vielleicht können wir uns auf ne andere Betonung einigen? Wie wärs mit:

„Letztlich steht in der zeitgenössischen Mathematik aber nicht der Wahrheitswert eines Axioms zur Debatte, sondern seine Ästhetik und Nützlichkeit.“ ? --χario 03:46, 31. Dez. 2010 (CET)

Naja, sie lehnen es halt ab, weil sich die mathematik für sie nach den Ideen aus der Natur richten soll. Das ganze mit wahr und falsch und Wahrheitswert finde ich verwirrend, es klingt in dem Kontext so, als würden Physiker behaupten, es wäre nicht relativ konsistent zu ZF, wie wäre es mit: „Letztlich stehen in der zeitgenössischen Mathematik vorrangig Nützlichkeit bei der Beweisführung und Kosten sowie die Ästhetik eines Axioms zur Debatte.“ Das Wort „Kosten“ ist schlecht, fällt jemandem etwas besseres ein? „Kosten“ hieße eben Nicht-Konstruktivität und unangenehme Fälle wie nicht messbare Mengen. --Chricho 12:51, 31. Dez. 2010 (CET)

Eigentlich könnte man den ganzen Satz auch ersatzlos streichen. Er ist ein Allgemeinplatz, der nichts zum Auswahlaxiom sagt... --Daniel5Ko 13:59, 31. Dez. 2010 (CET)

Dafür, das Wort „Allgemeinplatz“ hatte ich schon gesucht. :D --Chricho 14:23, 31. Dez. 2010 (CET)

Also ich würde jetzt sagen, dass es unklar ist, worauf der Satz sich mit seinem „wahr“ und „falsch“ und seinem „aber“ bezieht, und wenn man das alles weglässt ist es eben ein Allgemeinplatz, der nichts mehr spezifisch mit dem Auswahlaxiom zu tun hat. Also weg damit? --Chricho 18:58, 31. Dez. 2010 (CET)

Habe es mal entfernt, wenn es noch Einwände gibt, nur zu… --Chricho 17:02, 2. Jan. 2011 (CET)

Scherzkeks! Von hinten durch die Brust ins Auge. Hast du nicht die ganze Zeit versucht, uns zu überzeugen, dass es eben kein Allgemeinplatz ist? Aber egal, ich werde mal schauen, was ich für historische Auseinandersetzungen über das AA finde, die den Unterschied zur heutigen pragmatischeren Sicht verdeutlichen. --χario 04:16, 3. Jan. 2011 (CET)

Kommt halt drauf an, ob man den Satz auf das Zeug davor bezieht oder einfach so in den Raum stellt. Objektiv finde ich ihn in keinem Fall. Hauptsache wir sind alle glücklich, frohes Neues. :D --Chricho 12:21, 3. Jan. 2011 (CET)

zentrale Formulierung

Im Artikel wird das Auswahlaxiom in einer nicht-elementaren Form formuliert mit Hilfe des Funktionsbegriffs, der bekanntlich nicht elementar ist. Das ist deswegen problematisch, weil das Auswahlaxiom eigentlich im üblichen ZF keinen Funktionsbegriff voraussetzt. Das Auswahlaxiom mit Auswahlfunktion ist dort ein Theorem, das eine ganze Reihe von Definitionen und Sätzen voraussetzt.--Wilfried Neumaier 10:16, 7. Jul. 2011 (CEST)

Ja, das stimmt. Ich glaube aus diesem Grund ist die zweite der Alternativformulierungen auch die Gängigere - die kommt ohne Funktionsbegriff aus. Könnte man einfach umstellen. --SnowIsWhite 14:08, 7. Jul. 2011 (CEST)

In Prädikatenlogik

Im Artikel Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre ist das Axiom in Prädikatenlogik formuliert:

$\forall A\colon ((\varnothing \not \in A)\ \wedge \ \forall X,Y,Z\colon ((X\in A\ \wedge \ Y\in A\ \wedge \ Z\in X\ \wedge \ Z\in Y)\Rightarrow (X=Y)))$

$\Rightarrow \;$

$\exists B\colon \forall X\colon (X\in A\Rightarrow \exists !\ Y\colon (Y\in X\wedge Y\in B))$

Sowas sollte auch hier in den Artikel. Außerdem sollte man auch die allgemeinere Fassung, die ohne Benutzung von $\exists !$ auskommt, aufführen. --Jobu0101 (Diskussion) 14:17, 24. Jun. 2012 (CEST)

Ehrlich gesagt, ich denke nein. Auch in der jetztigen Form besteht der Artikel nur mit Mühen den Physikertest (analog zum Omatest), wenn du die disk hier liest. Wer Formeln gut lesen kann, für den ist die obige Formel kein Gewinn, er hätte sie auch selbst hinschreiben können. Für andere wird der Artikel dadurch eher sperriger.--Frogfol (Diskussion) 23:56, 6. Aug. 2012 (CEST)

Wenn ich im übrigen daran denke, daß $\exists !a:\phi (a)$ definiert ist als $\exists a:\phi (a)\land \forall b:(\phi (b)\Rightarrow (b=a))$ und kürzer mW nicht geht, dann wäre durchaus ersteres oder $\exists _{1}$ vorzuziehen...--93.133.235.37 14:49, 23. Apr. 2013 (CEST)

"Physikertest"

Angelehnt an frühere Diskussionsbeiträge, bei denen deutlich wurde, dass das Konzept einer Menge A, deren Elemente X wieder Mengen sind, und einer Funktion, die jeder dieser Mengen X ein Element von X zuordnet, für den Nichtmathematiker (und vielleicht nicht nur für diesen) schwer zu verstehen ist, schlage ich vor, eine weitere Version aufzunehmen, die mit Familien von Mengen arbeitet:

Sei $I$ eine beliebige Indexmenge und $(A_{i})_{i\in I}$ eine Familie von nichtleeren Mengen $A_{i}$, dann existiert eine Funktion $F$ mit Definitionsbereich $I$, die jedem $i\in I$ ein Element von $A_{i}$ zuordnet: $F(i)\in A_{i}$.

(Mathematisch heißt das natürlich nichts anderes als $\prod _{i\in I}A_{i}\neq \emptyset$.) --Digamma (Diskussion) 23:22, 30. Okt. 2012 (CET)

Ich habe das mal umgesetzt. --Digamma (Diskussion) 18:42, 22. Nov. 2014 (CET)

Alternative Formulierungen

Im Abschnitt "Allgemeine Formulierungen" steht:

Die Potenzmenge einer beliebigen Menge ohne die leere Menge hat eine Auswahlfunktion (Zermelo 1904).

Da Potenzmengen einen vollständigen Verband bilden, gibt es zu jeder Potenzmenge also ein Supremum, worauf die Auswahlfunktion abbilden kann. Also F(P(X))=X für beliebige Mengen X. Dafür brauche ich kein Axiom. --2A02:8388:6B88:2780:8043:58AB:6770:3896 13:59, 6. Okt. 2022 (CEST)

„Paul Cohen zeigte 1963“ – oder 1966?

Hallo, umseitig steht:

• 1963 aber zeigte Paul Cohen, dass auch die Negation des Auswahlaxioms nicht zu einem Widerspruch führt.

Das früheste bisher nachweisbare Veröffentlichungsjahr ist jedoch erst 1966. Vielleicht findet noch jemand einen Beleg für 1963?!

Gruß, --Wi-luc-ky (Diskussion) 13:09, 21. Feb. 2024 (CET)

Im Artikel über Paul Cohen wird das mit der Jahreszahl 1963 zitiert. --Digamma (Diskussion) 20:47, 22. Feb. 2024 (CET)

Das Buch ist wohl tatsächlich 1966 erschienen, ist aber anscheinend nicht die erste Veröffentlichung des Beweises. Siehe auch https://math.stackexchange.com/questions/199529/cohen-and-the-axiom-of-choice --Digamma (Diskussion) 21:00, 22. Feb. 2024 (CET)

Danke, Digamma, für die anregenden Recherchen; Paul Cohen hatte ich erfolglos eingesehen. Ich meine, Du liegst mit Deinem letzten Beitrag richtig: Erstveröffentlichungen des Beweises in zwei Aufsätzen in den Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America 1963 und 1964 (s. en:Paul Cohen), schließlich als Buch 1966 (so auch en:WP), wie umseitig schon korrigierend vermerkt. Werde den Text und die ENs sowie den hiesigen P. C. daraufhin anpassen. Gruß, --Wi-luc-ky (Diskussion) 21:58, 22. Feb. 2024 (CET)

Erledigt in Auswahlaxiom durch diesen sowie in Paul Cohen durch jenen Edit. Gruß, --Wi-luc-ky (Diskussion) 00:52, 26. Feb. 2024 (CET)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Wi-luc-ky (Diskussion) 00:52, 26. Feb. 2024 (CET)