Diskussion:Widerspruchsfreiheit

Revert der Änderung 10:39, 22. Dez 2005 84.166.83.123

Ich habe obige Änderung rückgängig gemacht, weil sie das ursprüngliche Beispiel (noch dazu ohne Begründung) durch ein irreführendes Beispiel ersetzt hat. Eine Satzmenge ist nur dann widerspruchsfrei, wenn sie überhaupt keinen Widerspruch enthält; es reicht nicht - wie die Änderung von 84.166.83.123 suggeriert - dass sie keine Lügnerantinomien enthält. Durch das Verwenden der Lügnerantinomie als Beispiel werden Lesende zur unzutreffenden Verallgemeinerung verleitet, dass nur Selbstwidersprüche Widersprüche sein können.

Zudem enthält das Beispiel von 84.166.83.123 unmittelbar den Satz P und den Satz ¬P, also direkt einen Widerspruch. Eine Satzmenge ist aber ganz allgemein genau dann widersprüchlich, wenn ein Widerspruch aus ihr abeleitet werden kann, also auch dann, wenn man den Widerspruch nicht unmittelbar sieht. Auch das zu zeigen hat das ursprüngliche Beispiel geleistet, das aktuelle Beispiel nicht.

Der Lügner ist prinzipiell deplaziert, weil er sich auf keinen Kalkül bezieht.erledigtErledigt--Wilfried Neumaier 09:23, 23. Sep. 2009 (CEST)

Relative Konsistenz

Ich sähe gerne den Begriff der relativen Konsistenz an prominenterer Stelle erklärt, zum Beispiel am Ende der Einleitung: Eine Aussage A heißt relativ konsistent zu einem Kalkül K, wenn aus der Konsistenz von K die Konsistenz von $K\cup \{A\}$ folgt. Noch besser wäre eine Formulierung, die ohne A und K auskommt. Die Resultate zur relativen Konsistenz des Auswahlaxioms zu ZF und der Kontinuumshypothese zu ZFC passen auch gut in den Artikel.--AlfonsGeser 18:28, 29. Mai 2008 (CEST)

So? ;-)

Hab mal einen Anfang gemacht. In die Einleitung konnt ichs irgendwie nicht einbauen, fand ich schon zu technisch. Gibts Fehler? Willst du den Pohler noch einfügen? Wenn du willst kannst du dann die Wikipedia:Weiterleitungen Relative Konsistenz und Relative Widerspruchsfreiheit neu erstellen. (auch als Adjektive?) --χario 21:52, 30. Mai 2008 (CEST)

erledigtErledigt--Wilfried Neumaier 09:23, 23. Sep. 2009 (CEST)

Schlechtes Beispiel

Das Beispiel verweist auf einen Syllogistik-Kalkül, der nicht zuständig ist für diese Art Syllogismen mit eine Individuum (Sokrates). Hier müsste entweder der Syllogistik-Kalkül auf Individuen erweitert werden, was dieser historisch orientierte Artikel versäumt, weil solche sogenannten singuläre Syllogismen auf Aristoteles zurückgehen, oder aber ein passendes Beispiel her.--Wilfried Neumaier 19:16, 21. Sep. 2009 (CEST)

erledigtErledigt Beispiel ersetzt.--Wilfried Neumaier 01:20, 22. Sep. 2009 (CEST)

Das gesamte Beispiel ist problematisch, denn "der Syllogistikkalkül" (welcher?) enthält keine Junktoren der Aussagenlogik. Man kann das durchaus "retten", wenn man einen konkreten Kalkül der Termlogik verwendet, aber ein aussagen- oder prädikatenlogisches Beispiel wäre vielleicht besser. Dhanyavaada 12:17, 14. Dez. 2009 (CET)

Datierung von Gödel

Im Artikel Auswahlaxiom steht, dass Gödel bereits 1937 die relative Konsistenz des Auswahlaxioms bewiesen hat, aber ohne Quellenangabe. Ich kenne den Aufsatz von 1940. Auch der Gödel-Artikel selbst nennt das Datum 1937 und diese frühere Quelle nicht. Wenn jemand sie kennt, möge er bitte den Artikel dementsprechend ändern.--Wilfried Neumaier 14:49, 23. Sep. 2009 (CEST)

Widerspruchsfreiheit/Konsistenz

Die Differenzierung Widerspruchsfreiheit/Konsistenz ist nicht ganz gewöhnlich und steht auf jeden Fall im Gegensatz zum Artikel Konsistenz: "In der Logik bedeutet Konsistenz die Widerspruchsfreiheit eines axiomatischen Systems (Gegensatz: inkonsistent)." Auf jeden Fall sollte daher ein Einzelnachweis zum Gebrauch dieser Begrifflichkeit angegeben werden. Dhanyavaada 14:32, 30. Okt. 2009 (CET)

Die Konsistenz im allgemeineren Sinn benützt etwa Curry in der Ableitung seines Curry-Paradoxons; das ist schon verlinkt im Artikel im Abschnitt "Konsistenzbeweise". Ich kenne die allgemeinere Form aus dem Studium und mir ist sie auch in der Literatur begegnet. Ich werde mich um genaue Referenzen bemühen. möchte aber möglichst dabei auf die Quelle dieser Idee zurückverweisen, was etwas Recherchierungsaufwand bedeutet. Bitte also um etwas Geduld. Der Artikel "Konsistenz" ist auch nur eine grobe Vorinformation und dient nur zum Verweis auf den eigentlichen Artikel.--Wilfried Neumaier 01:04, 31. Okt. 2009 (CET)

Es würde reichen, ein einziges Standard-Lehrbuch zu zitieren, in dem beide Begriffe nebeneinander so benutzt werden wie in diesem Artikel. Dhanyavaada 14:00, 9. Nov. 2009 (CET)

Da der im Artikel verwendete Begriff "Konsistenz als verallgemeinerte Widerspruchsfreiheit" offenbar nicht belegbar ist (oodrr?), werde ich ihn umschreiben und die Terminologie eines Standardwerkes verwenden, das in der WP häufig zitiert wird (Ebbinghaus/Flum/Thomas). Hier wird - wie auch sonst in der WP - kein Unterschied zwischen Widerspruchsfreiheit und Konsistenz gemacht. - Bitte um Hinweise, bevor ich mich an die Arbeit mache. (Unterzeichnung nachgeholt:Dhanyavaada 14:59, 19. Nov. 2009 (CET))

Hier müsste man eben kein Standardwerk zitieren, weil diese sich meistens mit der klassischen Logik befassen, wo beide Termini gleichwertig sind. Für mich genügt es, dass die Konsistenz als Verallgemeinerung der Widerspruchsfreiheit auch tatsächlich benützt wird (etwa bei Curry), und das enthält der Artikel.--Wilfried Neumaier 12:10, 19. Nov. 2009 (CET)

Ok, ich werde den Artikel demnächst in die QS setzen, vielleicht hat ja jemand ein Zitat. Ich finde es nicht optimal, dass wir eine Nomenklatur verwenden, die in keinem Standardlehrbuch auftaucht und im klaren Widerspruch zu anderen WP-Artikeln steht. Auch Curry (dessen Artikel mindestens als Einzelnachweis eingefügt werden müsste) verwendet nicht beide Begriffe und erst recht nicht einen als Verallgemeinerung des anderen. Ich finde, dass wir schon präzise mit gängigen Begriffen umgehen sollten, um keine Verwirrung zu stiften. Dhanyavaada 14:59, 19. Nov. 2009 (CET)

Leider sind sich die Logikbücher nicht einig in der Definition. Jedes Buch wählt seine eigene Festlegung der Widerspruchsfreiheit und da gibt es dann eben mehrere Möglichkeiten, sogar mehr als zwei. Die Verwirrung ist insofern ein Spiegelbild der Wirklichkeit. Wenn man hier im Artikel Einheitlichkeit erreichen wollte, was ich sehr verständlich finde, dann gibt es meines Erachtens nur einen Weg: Man muss den allgemeineren Standpunkt festschreiben. So ist es in Hilbert/Ackermann ab der 4. Auflage, denn Ackermann hat sich hier (nach Hilberts Tod) für die allgemeinere Version entschieden und die andere Definition ausgeschieden. Das könnte man nachmachen. Dann besteht nur Motivierungsbedarf, dass diese Definition die Widerspruchsfreiheit im wörtlichen Sinn erfasst, was mit einem Satz gezeigt ist. Hilbert/Ackermann war lange maßgeblich und hat spätere Logiken geprägt, daher habe ich dieses Buch als Referenz angegeben, und zwar die ältere Auflage, weil hier beide Varianten tatsächlich vorkommen. Man könnte aber genauso die neueste Auflage zitieren und dazu noch aktuellere Logiklehrbücher, die Ackermanns Version übernommen haben. Was meinst Du zu diesem Vorschlag?--Wilfried Neumaier 21:15, 19. Nov. 2009 (CET) Der Vorschlag würde bedeuten, dass man nur "konsistent" definiert. Das ist auch das Wort, das auch in nicht-klassischen Logiken stets benützt wird und das auch im Englischen gang und gäbe ist. Widerspruchsfrei ist - soviel ich weiß - eine deutsche Spezialität, die als Synonym für klassisch/intuitionistische Logiken im Kontext einzuführen wäre.--Wilfried Neumaier 21:26, 19. Nov. 2009 (CET)

Ja, so ist es wohl am besten. Der engl. WP -Artikel ist nicht schlecht. - Soll ich das demnächst einmal machen? Dhanyavaada 13:24, 20. Nov. 2009 (CET)

Ich habe es schon gemacht, ich hoffe, es passt so.--Wilfried Neumaier 15:16, 20. Nov. 2009 (CET)

Ja, so kann es gehen. Jedenfalls ist nun alles konsistent .... Danke für das Eingehen auf meine Probleme mit dem alten Text. Dhanyavaada 16:16, 20. Nov. 2009 (CET)

erledigtErledigt--Wilfried Neumaier 07:55, 21. Nov. 2009 (CET)

fehler oder nicht kapiert

1. Hier scheint mir ein Fehler vorzuliegen: "Das Bedürfnis nach Widerspruchsfreiheitsbeweisen trat an der Wende zum 19. Jahrhundert auf, als in der Mengenlehre Widersprüche bekannt wurden." Muss es nicht heißen "zum 20. Jahrhundert" oder "Ende des 19."?

2. "Der Zusammenhang zwischen den Begriffen widerspruchsfrei und konsistent ist der folgende: [...]" Ist 1 nicht dasselbe wie 2? Ich verstehe 1 so: widerspruchsfrei => konsistent. Beweis durch Widerspruch: Inkonsistent => alles ableitbar, also auch A und nicht-A für beliebiges A. -- Und 2 hört sich für mich so an: Es gelte: Aus einem Widerspruch folgt jede beliebige Formel. Dann: Widerspruchsfreiheit impliziert Konsistenz. Also die gleiche Richtung wie 1. Hab ich das (2) nur nicht verstanden, oder ist es nur ungeschickt formuliert (soll "die Konsistenz" das Subjekt in dem Satz "dann impliziert die Widerspruchfreiheit die Konsistenz" sein?)? Allerdings sehe ich die Richtung "konsistenz => widerspruchsfrei" auch nicht. Kann das (2) bitte jemand einen Satz ausführlicher machen? Gruß mat --85.115.16.194 20:17, 11. Nov. 2009 (CET)

Klarer Fehler (sorry...)! Ist berichtigt. Konsistenz => Widerspruchsfreiheit: Sei die Formelmenge $\Gamma$ NICHT widerspruchsfrei. Dann gibt es ein A mit $\Gamma \vdash A\land \neg A$. Da der Kalkül nach Voraussetzung die Eigenschaft *ex contradictione sequitur quodlibet" hat, folgt daraus die Inkonsistenz; also Widerspruchsbeweis. Dhanyavaada 21:22, 11. Nov. 2009 (CET).erledigtErledigt

Falschheit

Der folgende Halbsatz der Einführung ist mir sauer aufgestossen, und ich habe ihn daher entfernt:

• "Da ein ableitbarer Widerspruch die Falschheit mindestens einer der vorausgesetzten Aussagen beweist,..."

Das Problem ist, dass Widerspruchsfreiheit ein rein syntaktischer Begriff ist und ohne Bezug auf Wahrheit oder Falschheit erklärt werden kann und sollte. Ausserdem: Was bedeutet hier "Falschheit ... einer ... Aussage" - Falschheit in einer Interpretation, in allen Interpretatioenn ... Man kann das natürlich präzise machen, aber Weglassen des Halbsatzes scheint mir besser.

ok. ich hatte die formulierung glaube ich produziert, um irgendeine m.e. noch schlechtere zu bessern. grüße, Ca$e 13:02, 14. Dez. 2009 (CET)

Ach ja, gelöscht wird einem hier das eine oder andere... Du scheinst es ja auch sportlich zu nehmen. In diesem Artikel habe ich mit dem Teil darunter viel grössere Bauchschmerzen; ich habe nur mal oben angefangen . Gruss aus Kerala-Indien bei 32 Grad im Schatten bei rauchendem Laptop Dhanyavaada 13:29, 14. Dez. 2009 (CET)

oh. ;) ... grüße aus einem ort, wo seit gestern der erste schnee liegt ...Ca$e 13:36, 14. Dez. 2009 (CET)

Sokrates Vorfahren

Euer Beispiel ist IMHO nicht so töfte, weil die Aussage zwei strenggenommen nicht zutreffend ist. Sokrates Vorfahren "sind" nicht mehr, sie "waren", meinethalben auch "sind gewesen", aber ganz sicher kein Präsens von "sein". Jetzt mal angenommen, Aussage vier habe allgemeine Gültigkeit, worauf ich mich durchaus einlassen würde, so würde sich mit der korrekten Formulierung der Aussage zwei in einer Vergangenheitsform jeglicher Widerspruch der vier Aussagen auflösen. --Russell Teechen? 13:31, 28. Jul. 2013 (CEST)

Das Sokrates-Beispiel ist ein uraltes Schul-Beispiel aus der Antike (Aristoteles-Stoa), das hier aufgegriffen und modifiziert wurde. Es ist wie die Vorlage nur ein konstruiertes Demonstrationsbeispiel in einer kanonischen philosophischen Logik. In ihr wurden 'sind' und 'sein' immer mit einer überzeitlichen Bedeutung verwendet, nicht in einer präsentischen Bedeutung. Präsens kann ja durchaus viele Bedeutungen haben, auch den historische Präsens. Das Beispiel nutzt ja gerade diese umgangssprachliche Doppeldeutigkeit aus für ein inkonsistentes System und spielt den historischen Präsens gegen den aktuellen aus. Mit Axiomen, die alle wahr sind, kriegt man ja auch gar kein Beispiel zustande. Deswegen muss ja irgendein Axiom faul sein. Welches es ist, ist hier egal.--Wilfried Neumaier (Diskussion) 16:39, 28. Jul. 2013 (CEST)

So in etwa hatte ich mir das auch gedacht, aber IMHO geht das bisher noch nicht deutlich genug aus dem Artikel hervor. Ich fände es gut, diesen Aspekt etwas ausführlicher zu thematisieren, wenn man das Beispiel schon hernimmt. Du beschreibst es ja recht schön - vielleicht könntest Du etwas davon in den Artikel einbauen. --Russell Teechen? 00:48, 30. Jul. 2013 (CEST)

Eine Verbesserung müsste auch auf die obige Bemerkung "3. Schlechtes Beispiel" eingehen, weil hier der scholastische Syllogistik-Kalkül als bekannt vorausgesetzt wird und nicht präzisiert wird. Nun ist aber das Beispiel eher unwichtig, deshalb würde ich es nicht noch ausstaffieren. Soll man es vielleicht ans Ende schieben?--Wilfried Neumaier (Diskussion) 23:45, 29. Jul. 2013 (CEST)

Das Beispiel provoziert sehr vordergründig einen Widerspruch, in dem es das Prädikat "sind", welches in (2) und (4) verwendet wird, dort in jeweils völlig unterschiedlicher Bedeutung verwendet. Da verbietet sich doch eigentlich die Gleichsetzung in der Bezugnahme, oder nicht? Immerhin ist von vorneherein klar, daß es eben nicht zweimal das gleiche "sind" ist und somit nicht das eine dem anderen gleichzusetzen ist. Ich bin hier nicht vom Fach, darum frage ich das mal ganz doof, denn irgendwie hat das für mich mit Logik wenig zu tun, wenn man zwei Ausdrücke, von denen man weiß, daß sie nicht gleich sind, trotzdem gleich setzt, nur weil dafür das gleiche Wort verwendet wird.

BTW: Ich finde den Artikel insgesamt sehr schwer lesbar. Wenigstens die Einleitung sollte OMA-tauglich sein und das ist sie IMHO nicht. Nichtmal ich verstehe die so ganz, kann das aber auch nicht selber verbessern, da - wie gesagt - nicht vom Fach. --Russell Teechen? 02:13, 30. Jul. 2013 (CEST)

Ja, dort haben Symbole etwa nichts verloren, zumal ja weiter unten die Präzisierung steht. Ich fange mal an zu korrigieren.--Wilfried Neumaier (Diskussion) 10:04, 31. Jul. 2013 (CEST) Ist es verständlicher geworden?--Wilfried Neumaier (Diskussion) 10:25, 31. Jul. 2013 (CEST)

So ist es schon etwas verständlicher, danke Dir, allerdings noch immer wenig illustrativ. Etwas weiter unten steht bspw. etwas zu Trugschlüssen - vielleicht könnte man in der Einleitung ein klein wenig vom praktischen Nutzen des ganzen umreißen.

Insgesamt ist der Artikel IMHO an vielen Stellen unnötig abgehoben formuliert. Bspw: In der Logik gilt eine Menge von Aussagen als konsistent oder widerspruchsfrei, wenn aus ihr kein Widerspruch abgeleitet werden kann, also kein Ausdruck und zugleich dessen Negation. - Das ist so sehr technisch, ibs. der Ausdruck "Negation". Die Widerspruchsfreiheit ist von Bedeutung für die Brauchbarkeit wissenschaftlicher Theorien, logischer Kalküle oder mathematischer Axiomensysteme. Hier fehlen bspw. anschauliche Beispiele. "Die relative Konsistenz bedeutet, dass in einem als konsistent angenommenen Axiomensystem die Erweiterung durch Zusatzaxiome konsistent ist." Konsistenz ist konsistent ist konsistent - das erklärt es nur unzureichend.

Ich fände es auch schön, wenn das Sokrates-Beispiel etwas verständlicher erläutert würde. Da wird man bisher mit knappen Bezügen auf Fachtermini abgewatscht. Auch die Listen in der zweiten Hälfte sollten lieber einem Fließtext weichen, der es erklärt, anstatt es nur aufzuzählen, weil WP = Enzyklopädie, aber WP ≠ Lexikon. An vielen Stellen liest man und hofft auf Erläuterung, aber es bleibt anhalten kompliziert in der Darstellung und vergleichsweise unverständlich. Hast Du Lust, da noch weiter dran zu basteln? --Russell Teechen? 16:25, 31. Jul. 2013 (CEST)

Mich wundert, dass du Negation als technisch empfindest. Das ist doch ein simpler grammatikalischer Sachverhalt. Man braucht im Kontext logischer Kalküle Fachtermini wirklich. Ich weiß daher nicht, ob man deine Wünsche erfüllen kann. Ich bin ja einer, der schon versucht, die komplizierten Dinge möglichst einfach und klar auszudrücken. Andere gehen in punkto Fachtermini und Formeln sehr viel weiter. Ein Blick in andere Logikartikel zeigt das sofort. Ich versuche Dir aber noch entgegenzukommen (in Bälde), aber es hat Grenzen.--Wilfried Neumaier (Diskussion) 07:25, 1. Aug. 2013 (CEST)

Passt die OMA-Version?--Wilfried Neumaier (Diskussion) 09:58, 3. Aug. 2013 (CEST)

Ich finde es verständlich: Habe allerdings Halbvorbildung. Dass hier A und nicht-A als Inkonsistenz bezeichnet wird, ist ein Entgegenkommen. In vielen Artikeln mit Neigung zur Aussagenlogik heisst das einfach A oder nicht-A.

Zur relativen Konsistenz: Wichtig ist dort Erweiterung, vielleicht kursiv? Negation ist logisch nicht-nicht-A ist A. Das empfindet man umgangssprachlich nicht so, Bsp ein Baby ist keine Nichtraucher, weil es auch kein Raucher ist.

Die Mengen werden hier überbetont, weil sie heute wichtig sind. Man kann ja etwas anders Klassen nehmen.

Aristoteles hat selbst das Axiom formuliert, vielleicht zitieren, da ja alle Vorwürfe gegen ihn nicht greifen.

Zu welchem Kalkül sollen Illustrationen passen? Für mich sind die ganzen Inkonsistenzbeispiele nur Unlogiken, Alogiken, immerfalsche Ausdrücke. Es macht mir das Ganze einfacher, wenn ich weiss, dass es so etwas gibt. Oben steht leider auch schon Aussagen, das leicht unterschiedlich interpretiert werden kann, aber als Fachbegriff unumgänglich ist.

Illustratives Beispiel: Gegen eine Kalschnikow helfen keine logischen Argumente. Was ist an ihr jetzt logisch? Nichts?

Gruss -- Room 608 (Diskussion) 15:52, 3. Aug. 2013 (CEST)