Rotationsenergie

Rotationsenergie ist die kinetische Energie eines starren Körpers (Beispiel: Schwungrad), der um einen festen Punkt oder seinen (beweglichen) Massenmittelpunkt rotiert. In diesen beiden Fällen lässt sich die kinetische Energie des Körpers in einen translatorischen und einen rotatorischen Anteil zerlegen. Diese Energie ist abhängig vom Trägheitsmoment und der Winkelgeschwindigkeit des Körpers: je mehr Masse von der Rotationsachse entfernt ist, desto mehr Energie gibt der Körper ab, wenn seine Rotation gestoppt wird.

Dies lässt sich durch folgendes Experiment verdeutlichen: Zwei gleich schwere Kugeln mit identischen Radien werden auf eine schiefe Ebene gelegt und rollen herunter, siehe eine schiefe Ebene hinabrollendes Rad. Eine Kugel besteht aus einem leichten Material wie Kunststoff und ist massiv gefertigt. Die andere Kugel jedoch ist hohl, besteht aber aus einem dichteren und somit schwereren Material als Kunststoff. Die hohle Kugel wird langsamer rollen, da bei ihr die gesamte Masse auf einer dünnen Schale mit gewissem Abstand zur Rotationsachse verteilt ist. Die massive Kugel mit derselben Masse rollt schneller, weil prozentual mehr Masse nahe der Rotationsachse liegt und sich daher langsamer auf der Kreisbahn bewegen muss. Daher wird weniger ihrer Lageenergie in Rotationsenergie und mehr in translatorische Energie umgewandelt und sie rollt schneller.

Rotationsenergie ist unter anderem von Bedeutung bei: Turbinen, Generatoren, Rädern und Reifen, Wellen, Propellern.

Trägheitsmoment

Ein Körper, der mit der Winkelgeschwindigkeit $\omega$ um die x-Achse rotiert, besitzt die Rotationsenergie

$E_{\mathrm {rot} }={\frac {1}{2}}\cdot J_{x}\cdot \omega ^{2}$

mit

• $J_{x}$: Trägheitsmoment des Körpers um die x-Achse
• $\omega$: Winkelgeschwindigkeit.

Dies lässt sich allgemein ausdrücken als:

${\begin{aligned}E_{\mathrm {rot} }&={\frac {1}{2}}\;{\vec {\omega }}^{T}\,J\;{\vec {\omega }}\\&={\frac {1}{2}}\sum _{\alpha ,\beta =1}^{3}\,J_{\alpha \beta }\;\omega _{\alpha }\;\omega _{\beta }\end{aligned}}$

mit

• $J_{\alpha \beta }$: Trägheitstensor.

Um die Energie eines Körpers anzugeben, der um eine beliebige Achse rotiert (Einheitsvektor ${\vec {n}}$ mit $\left|{\vec {n}}\right|=1$), wird die Winkelgeschwindigkeit jeweils durch ihre Vektorkomponenten in x-, y- und z-Richtung ausgedrückt:

${\vec {\omega }}=\omega \,{\vec {n}}=\omega \cdot {\begin{pmatrix}n_{1}\\n_{2}\\n_{3}\\\end{pmatrix}}$

Für die Rotationsenergie gilt damit:

${\begin{aligned}E_{\mathrm {rot} }&={\frac {1}{2}}\sum _{\alpha ,\beta =1}^{3}J_{\alpha \beta }\;n_{\alpha }\;n_{\beta }\;\omega ^{2}\\&={\frac {1}{2}}\cdot J_{n}\cdot \omega ^{2}\end{aligned}}$

mit dem Trägheitsmoment $J_{n}$ bezüglich einer beliebigen Achse ${\vec {n}}$:

$J_{n}=\sum _{\alpha ,\beta =1}^{3}J_{\alpha \beta }\;n_{\alpha }\;n_{\beta }$

Beispiele

• Eine Kugel mit Radius $r$ und Masse $m$ hat das Trägheitsmoment $J={\tfrac {2}{5}}\,mr^{2}$. Wenn sie mit der Geschwindigkeit $v$ auf der Ebene rollt, beträgt ihre Winkelgeschwindigkeit $\omega ={\tfrac {v}{r}}$ und folglich ihre gesamte kinetische Energie:

${\begin{aligned}E_{\mathrm {kin} }&=E_{\mathrm {trans} }+E_{\mathrm {rot} }\\&={\frac {1}{2}}mv^{2}+{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {2}{5}}mr^{2}\cdot \omega ^{2}\\&={\frac {7}{10}}mv^{2}\end{aligned}}$

• Ein Körper, der um die Diagonale durch seine xy-Fläche rotiert, hat die Winkelgeschwindigkeit:

${\vec {\omega }}=\omega \,{\vec {n}}$ mit ${\vec {n}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\1\\0\\\end{pmatrix}}$

Daraus folgt für das Trägheitsmoment bzgl. dieser Drehachse:

${\begin{aligned}J_{n}&={\vec {n}}^{T}J\,{\vec {n}}\\&={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(1,1,0\right)\left({\begin{matrix}J_{11}&J_{12}&J_{13}\\J_{12}&J_{22}&J_{23}\\J_{13}&J_{23}&J_{33}\\\end{matrix}}\right){\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\begin{matrix}1\\1\\0\\\end{matrix}}\right)\\&={\frac {1}{2}}\cdot (J_{11}+J_{12}+J_{12}+J_{22})\end{aligned}}$

Die Rotationsenergie erhält man damit aus:

${\begin{aligned}E_{\mathrm {rot} }&={\frac {1}{2}}\cdot J_{n}\cdot \omega ^{2}\\&={\frac {1}{4}}\cdot (J_{11}+J_{12}+J_{12}+J_{22})\cdot \omega ^{2}\end{aligned}}$

Drehimpuls

Die Rotationsenergie kann auch durch den Drehimpuls ${\vec {L}}$ ausgedrückt werden:

${\begin{aligned}E_{\mathrm {rot} }&={\frac {1}{2}}\cdot {\vec {L}}\cdot {\vec {\omega }}\\&={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {{\vec {L}}^{2}}{J}}\end{aligned}}$

mit ${\vec {L}}=J\cdot {\vec {\omega }}$

Es ist zu beachten, dass der Drehimpuls und die Winkelgeschwindigkeit im Allgemeinen nicht parallel zueinander stehen (außer bei Rotation um eine Hauptträgheitsachse); siehe auch Trägheitsellipsoid.

Herleitung

Sei der Starre Körper durch einzelne Massenpunkte mit Massen $m_{i}$ an den Orten ${\vec {r}}_{i}$ relativ zum Ursprung eines körperfesten Bezugssystems gegeben, das sich am Ort ${\vec {b}}(t)$ im Inertialsystem befindet. Bei der allgemeinen Bewegung starrer Körper gilt die eulersche Geschwindigkeitsgleichung:

${\vec {v}}({\vec {x}},t)={\dot {\vec {b}}}(t)+{\vec {\omega }}(t)\times {\vec {x}}\,.$

Darin ist ${\vec {\omega }}$ die Winkelgeschwindigkeit des starren Körpers (inklusive des körperfesten Bezugssystems), ${\dot {\vec {b}}}$ die Geschwindigkeit von ${\vec {b}}$ und beide dürfen von der Zeit $t$ abhängen. Die Geschwindigkeit ${\vec {v}}({\vec {x}},t)$ ist zur Zeit $t$ die Geschwindigkeit des Massenpunkts am Ort ${\vec {x}}$ im körperfesten Bezugssystem.

Die kinetische Energie des Körpers ist dann gegeben durch

${\begin{aligned}E_{\rm {kin}}=&{\frac {1}{2}}\sum _{i}m_{i}{\vec {v}}({\vec {r}}_{i},t)^{2}={\frac {1}{2}}\sum _{i}m_{i}({\dot {\vec {b}}}+{\vec {\omega }}\times {\vec {r}}_{i})^{2}\\=&{\frac {1}{2}}\sum _{i}m_{i}{\dot {\vec {b}}}^{2}+{\frac {1}{2}}\sum _{i}m_{i}2{\dot {\vec {b}}}\cdot ({\vec {\omega }}\times {\vec {r}}_{i})+{\frac {1}{2}}\sum _{i}m_{i}({\vec {\omega }}\times {\vec {r}}_{i})^{2}\\=&\underbrace {{\frac {1}{2}}m{\dot {\vec {b}}}^{2}} _{E_{\rm {trans}}}+\underbrace {{\frac {1}{2}}\sum _{i}m_{i}({\vec {\omega }}\times {\vec {r}}_{i})^{2}} _{E_{\rm {rot}}}+m{\vec {\omega }}\cdot ({\vec {s}}\times {\dot {\vec {b}}})\end{aligned}}$

Darin ist $\textstyle m:=\sum _{i}m_{i}$ die Gesamtmasse des Körpers, $E_{\rm {trans}}$ seine translatorische Energie, $E_{\rm {rot}}$ seine Rotationsenergie, $\textstyle {\vec {s}}:={\frac {1}{m}}\sum _{i}m_{i}{\vec {r}}_{i}$ sein Massenmittelpunkt und es wurde ausgenutzt, dass im Spatprodukt dreier Vektoren deren Reihenfolge zyklisch vertauscht werden darf. Der dritte Summand $m{\vec {\omega }}\cdot ({\vec {s}}\times {\dot {\vec {b}}})$ verschwindet unter vier Bedingungen:

1. Wenn der Massenmittelpunkt im Ursprung (${\vec {s}}={\vec {0}}$) oder auf der Drehachse liegt (${\vec {\omega }}\parallel {\vec {s}}$), die Rotation also um den Massenmittelpunkt stattfindet.
2. Wenn das körperfeste System ruht (${\dot {\vec {b}}}={\vec {0}}$) oder sich entlang der Drehachse bewegt (${\vec {\omega }}\parallel {\dot {\vec {b}}}$), was sich durch geeignete Wahl des Bezugspunkts immer einrichten lässt.
3. Wenn sich der Bezugspunkt in Richtung des Massenmittelpunkts bewegt (${\dot {\vec {b}}}\parallel {\vec {s}}$), was einem Balanceakt gleichkommt.
4. Der triviale Fall $m{\vec {\omega }}={\vec {0}}$ wird hier nicht weiter betrachtet.

In den ersten drei Fällen spaltet sich die kinetische Energie in die translatorische und rotatorische auf, aber nur die ersten beiden Fälle sind für die Kreiseltheorie interessant. Mit der Lagrange-Identität $({\vec {\omega }}\times {\vec {r}}_{i})^{2}=({\vec {\omega }}\cdot {\vec {\omega }})({\vec {r}}_{i}\cdot {\vec {r}}_{i})-({\vec {\omega }}\cdot {\vec {r}}_{i})^{2}$ berechnet sich unter Ausnutzung der Eigenschaften des dyadischen Produkts $\otimes$ die Rotationsenergie zu:

${\begin{aligned}2E_{\rm {rot}}=&\sum _{i}m_{i}({\vec {\omega }}\times {\vec {r}}_{i})^{2}=\sum _{i}m_{i}[({\vec {\omega }}\cdot {\vec {\omega }})({\vec {r}}_{i}\cdot {\vec {r}}_{i})-({\vec {\omega }}\cdot {\vec {r}}_{i})^{2}]\\=&{\vec {\omega }}\cdot \sum _{i}m_{i}[({\vec {r}}_{i}\cdot {\vec {r}}_{i}){\vec {\omega }}-({\vec {\omega }}\cdot {\vec {r}}_{i}){\vec {r}}_{i}]={\vec {\omega }}\cdot \sum _{i}m_{i}[({\vec {r}}_{i}\cdot {\vec {r}}_{i})\mathbf {1} -{\vec {r}}_{i}\otimes {\vec {r}}_{i}]\cdot {\vec {\omega }}\\=&{\vec {\omega }}\cdot \mathbf {\Theta } _{b}\cdot {\vec {\omega }}\\\Rightarrow E_{\rm {rot}}=&{\frac {1}{2}}{\vec {\omega }}\cdot \mathbf {\Theta } _{b}\cdot {\vec {\omega }}={\frac {1}{2}}{\vec {\omega }}\cdot {\vec {L}}\end{aligned}}$

Darin ist $\textstyle \mathbf {\Theta } _{b}:=\sum _{i}m_{i}[({\vec {r}}_{i}\cdot {\vec {r}}_{i})\mathbf {1} -{\vec {r}}_{i}\otimes {\vec {r}}_{i}]$ der Trägheitstensor des starren Körpers bezüglich ${\vec {b}}$, ${\vec {L}}:=\mathbf {\Theta } _{b}\cdot {\vec {\omega }}$ sein Eigen­drehimpuls und 1 der Einheitstensor. Im körperfesten System ist der Trägheitstensor konstant, im Inertialsystem jedoch nicht, wenn sich der Körper dreht.

Siehe auch

• Potentielle Energie
• Rollersatzmasse
• Schwungradspeicherung
• Schwungrad-Speicherkraftwerk