Kontragrediente Darstellung

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In der Mathematik ist die kontragrediente Darstellung oder duale Darstellung ein wichtiges Hilfsmittel in linearer Algebra, projektiver Geometrie und Darstellungstheorie.

Definition

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Zu einer gegebenen Darstellung

 

kann man die duale Darstellung

 

in den dualen Vektorraum   definieren durch

 

für alle   und  

Mit dieser Definition gilt für die natürliche Paarung   zwischen   und  

  für alle  

Darstellung durch Matrizen

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Nach Wahl einer Basis und der kanonischen dualen Basis wird   durch eine Matrix   und   durch die Transponierte der inversen Matrix beschrieben, also  .

Beweis: Sei   eine Basis von   und   die duale Basis von  . Sei

 

und

 ,

dann ist

 .

Unitäre Darstellungen

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Wenn   eine unitäre Darstellung ist, dann ist   die komplex konjugierte Darstellung  .

Beispiel

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Sei   und sei   die Darstellung von   definiert durch

 

Dann ist die duale Darstellung   gegeben durch:

 

Literatur

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  • Bröcker, Theodor; tom Dieck, Tammo: Representations of compact Lie groups. Graduate Texts in Mathematics, 98. Springer-Verlag, New York, 1985. ISBN 0-387-13678-9
  • Fulton, William; Harris, Joe: Representation theory. A first course. Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics. 129. New York: Springer-Verlag, 1991. ISBN 978-0-387-97495-8