π-System

Ein $\pi$ -System, auch durchschnittstabiles Mengensystem oder kurz schnittstabiles System genannt, ist ein spezielles Mengensystem, das im axiomatischen Aufbau der Wahrscheinlichkeitstheorie und der Maßtheorie verwendet werden kann.

Definition

Gegeben sei ein Mengensystem ${\mathcal {S}}\subset {\mathcal {P}}(\Omega )$ , also eine Teilmenge der Potenzmenge einer Grundmenge $\Omega$ . ${\mathcal {S}}$ heißt ein $\pi$ -System, durchschnittstabiles Mengensystem oder schnittstabiles System, wenn für beliebige zwei Mengen $A,B$ aus dem Mengensystem ${\mathcal {S}}$ gilt, dass $A\cap B\in {\mathcal {S}}$ ist.

Beispiele

Für eine beliebige Grundmenge $\Omega$ sei das Mengensystem

{\mathcal {S}}:=\{A\subset \Omega \mid |A|<\infty \}

aller endlichen Teilmengen gegeben. Für zwei beliebige $A,B\in {\mathcal {S}}$ ist nun $|A\cap B|\leq \min(|A|,|B|)$ , der Schnitt endlicher Mengen ist immer endlich. Also ist auch $A\cap B\in {\mathcal {S}}$ , es handelt sich somit um ein schnittsstabiles System.

Eigenschaften

Ist das Mengensystem stabil unter Komplementbildung, so ist es genau dann durchschnittsstabil, wenn es vereinigungsstabil ist. Dies folgt direkt aus den de Morganschen Gesetzen.
Ist das Mengensystem ${\mathcal {S}}$ stabil unter Differenzmengenbildung, dann ist es auch ein π-System. Dies folgt aus $A\cap B=A\setminus (A\setminus B)\in {\mathcal {S}}$ .

Verwendung

Durchschnittsstabile Mengensysteme treten an einigen Stellen in der Wahrscheinlichkeitstheorie und Stochastik auf. So ist die Durchschnittsstabilität eine wichtige Voraussetzung an den Erzeuger einer σ-Algebra, um nur auf diesem Erzeuger die stochastische Unabhängigkeit der Zufallsvariablen überprüfen zu müssen.

Wichtigste Anwendung ist der sogenannte dynkinsche π-λ Satz. Ist ${\mathcal {S}}$ ein $\pi$ -System, dann stimmen die von ${\mathcal {S}}$ erzeugte $\sigma$ -Algebra und das erzeugte Dynkin-System überein, es gilt also

\sigma ({\mathcal {S}})=\delta ({\mathcal {S}})

.

Siehe auch

Literatur

Christian Hesse: Angewandte Wahrscheinlichkeitstheorie. 1. Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-03183-2, S. 20, doi:10.1007/978-3-663-01244-3.
Heinz Bauer: Maß- und Integrationstheorie. 2., überarbeitete Auflage. de Gruyter, Berlin u. a. 1992, ISBN 3-11-013626-0.
Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/ Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.