Die elementare Markoweigenschaft ist in der Wahrscheinlichkeitstheorie eine Eigenschaft von stochastischen Prozessen. Sie ist eine allgemein formulierte Bedingung daran, wie sehr der Prozess von seiner Vergangenheit beeinflusst wird und ermöglicht die Definition von Markowprozessen unter vielfältigen Rahmenbedingungen.

Definition

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Gegeben sei eine Indexmenge   sowie ein stochastischer Prozess   mit Werten in   und mit erzeugter Filtrierung  .

Der Prozess   hat die elementare Markoweigenschaft, wenn für jedes   und alle   mit   gilt, dass

 .

Interpretation

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Aufbauend auf dem bedingten Erwartungswert lässt sich der Term   interpretieren als die beste Vorhersage, die man für das Ereignis   angeben kann, wenn man über die Informationen aus   verfügt.

Die Filtrierung   enthält nun alle Informationen über den Verlauf des Prozesses von Beginn bis zum Zeitpunkt  , die σ-Algebra   nur die Informationen über den Zeitpunkt  .

Die elementare Markoweigenschaft besagt nun, dass die beste Vorhersage für ein Ereignis sich nicht mit der Informationslage verändert. Egal ob man den gesamten Verlauf bis   oder nur den aktuellen Zustand in   kennt, die Vorhersage für den weiteren Verlauf des Prozesses wird dadurch nicht verändert. Dies ist die „Gedächtnislosigkeit“ bzw. das „kurze Gedächtnis“, das alle Markowprozesse kennzeichnet.

Beziehung zur schwachen Markoweigenschaft

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Die elementare Markoweigenschaft ist allgemeiner als die Schwache Markoweigenschaft. Diese fordert die Existenz eines Markowkerns, der die Übergangswahrscheinlichkeiten beschreibt. Außerdem fordert sie im Gegensatz zur elementaren Markoweigenschaft, dass die Übergangswahrscheinlichkeiten zeitunabhängig sind, sie wird also nur von homogenen Markowprozessen erfüllt.

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Literatur

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