Friedrichssche Erweiterung

Die Friedrichssche Erweiterung (nach Kurt Friedrichs) ist eine mathematische Konstruktion, nach der bestimmte dicht-definierte lineare Operatoren in Hilberträumen zu selbstadjungierten Operatoren erweitert werden können.

Halb-beschränkte Operatoren

Wir betrachten einen linearen Operator $A$, der auf einem dichten Teilraum eines Hilbertraums $H$ definiert ist. Dieser Teilraum heißt der Definitionsbereich von $A$ und wird mit $D(A)$ bezeichnet. Unter bestimmten Umständen, um die es in diesem Artikel geht, kann man den Operator $A$ zu einem auf einem $D(A)$ umfassenden Teilraum erweitern, so dass der erweiterte Operator selbstadjungiert ist.

Ein dicht-definierter Operator $A$ heißt halb-beschränkt, falls es eine reelle Zahl $c$ gibt, so dass $\langle A\xi ,\xi \rangle \geq c\|\xi \|^{2}$ für alle $\xi \in D(A)$. Offenbar sind positive Operatoren halb-beschränkt und halb-beschränkte Operatoren sind symmetrisch, denn nach Definition sind alle $\langle A\xi ,\xi \rangle$ reell.

In der Quantenmechanik auftretende Operatoren sind häufig halb-beschränkt, das $c$ steht dann etwa für eine untere Energie-Schranke. Es stellt sich dann in natürlicher Weise die Frage, ob ein solcher Operator eine selbstadjungierte Erweiterung hat, diese ist dann eine quantenmechanische Observable.

Der Begriff des halb-beschränkten Operators wurde zuerst von Aurel Wintner eingeführt. Später hat Kurt Friedrichs die Theorie der halb-beschränkten Operatoren weiterentwickelt.

Energetischer Raum

Sei $A$ ein halb-beschränkter Operator mit $\langle A\xi ,\xi \rangle \geq c\|\xi \|^{2}$ für alle $\xi \in D(A)$ und $\lambda$ sei eine reelle Zahl mit $\lambda +c>0$. Sei

$[\xi ,\eta ]_{\lambda }:=\langle A\xi ,\eta \rangle +\lambda \langle \xi ,\eta \rangle$ für $\xi ,\eta \in D(A)$.

Dann ist $[\cdot ,\cdot ]_{\lambda }$ eine positiv definite Form auf $D(A)$ und man kann daher die Norm $\|\xi \|_{\lambda }:={\sqrt {[\xi ,\xi ]_{\lambda }}}$ auf $D(A)$ definieren. $D(A)$ ist mit dieser Norm in der Regel kein vollständiger Raum; das führt zu folgender Konstruktion.

$H_{\lambda }:=\{\xi \in H;{\rm {Es\,gibt\,eine\,Folge}}\,(\xi _{n})_{n}\,{\rm {in}}\,D(A)\,{\rm {mit}}\|\xi _{n}-\xi \|{\stackrel {n\to \infty }{\longrightarrow }}0\,{\rm {und}}\,\|\xi _{n}-\xi _{m}\|_{\lambda }{\stackrel {n,m\to \infty }{\longrightarrow }}0\}$.

Beachte, dass sich die erste Grenzwert-Bedingung auf die Hilbertraum-Norm auf $H$ bezieht. Eine Folge $(\xi _{n})_{n}$ in der Definition von $H_{\lambda }$ heißt eine approximierende Folge für $\xi \in H_{\lambda }$. Offenbar ist $D(A)\subset H_{\lambda }$, denn für $\xi \in D(A)$ kann man als approximierende Folge die konstante Folge $\xi _{n}=\xi$ wählen. Man kann nun folgende Aussagen beweisen:

• Sind $\xi ,\eta \in H_{\lambda }$ mit approximierenden Folgen $(\xi _{n})_{n}$ und $(\eta _{n})_{n}$, so existiert der Limes $[\xi ,\eta ]_{\lambda }:=\lim _{n\to \infty }[\xi _{n},\eta _{n}]_{\lambda }$ und setzt die auf $D(A)$ definierte Form fort.
• $H_{\lambda }$ ist mit der positiv definiten Form $[\cdot ,\cdot ]_{\lambda }$ ein Hilbertraum.
• Ist auch $\mu$ eine reelle Zahl mit $\mu +c>0$, so ist $H_{\lambda }=H_{\mu }\subset H$ als Mengen, die durch $[\cdot ,\cdot ]_{\lambda }$ bzw. $[\cdot ,\cdot ]_{\mu }$ definierten Normen sind äquivalent.

Der Raum $H_{\lambda }$ hängt also nur von $A$ und nicht vom speziellen $\lambda$ ab; er wird daher mit $H_{A}$ bezeichnet und heißt der energetische Raum von $A$.

Friedrichssche Erweiterung

Sei $A$ ein halb-beschränkter Operator. Dann ist $A$ symmetrisch, das heißt, es gilt $A\subset A^{*}$, wobei $A^{*}$ der adjungierte Operator ist. Definiert man

$A_{F}\xi :=A^{*}\xi$ für $\xi \in D(A_{F}):=H_{A}\cap D(A^{*})$,

so ist $A_{F}$ ein selbstadjungierter Operator, der $A$ erweitert. $A_{F}$ heißt die Friedrichssche Erweiterung von $A$.

Man beachte, dass im Allgemeinen weder $A$ noch $A^{*}$ selbstadjungiert ist. Erst durch obige geschickte Wahl des Definitionsbereichs erhält man einen zwischen $A$ und $A^{*}$ gelegenen selbstadjungierten Operator, der die Einschränkung von $A^{*}$ auf diesem Teilraum ist. Es ist daher $A\subset A_{F}\subset A^{*}$

Quellen

• Hans Triebel: Höhere Analysis, Verlag Harri Deutsch, 1980.