Euler-Produkt

Entwicklung einer Dirichlet-Reihe in ein unendliches Produkt
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Das Euler-Produkt ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Analysis und insbesondere der Zahlentheorie. Es ist eine Darstellung einer Dirichlet-Reihe mittels eines unendlichen Produktes indiziert über die Menge der Primzahlen. Benannt ist das Euler-Produkt nach Leonhard Euler, der das unendliche Produkt bezüglich der Dirichlet-Reihe der Riemannschen Zeta-Funktion untersuchte.[1]

Definition

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Sei   eine multiplikative zahlentheoretische Funktion und   die entsprechende Dirichlet-Reihe von  . Falls diese Reihe für eine komplexe Zahl   absolut konvergiert, dann gilt

 .

Im Falle einer vollständig multiplikativen Funktion   vereinfacht sich dieses Produkt zu

 .

Diese unendlichen Produkte über alle Primzahlen heißen Euler-Produkte.[2] Der Wert dieser Produkte ist definiert als Grenzwert   der Folge endlicher Produkte  , die entsteht, indem man das Produkt nur auf Primzahlen unterhalb einer Schranke N erstreckt.

Es gibt mehrere Beweise für die Gültigkeit des Euler-Produktes.

Zunächst ist klar, dass mit absoluter Konvergenz der Reihe   auch jeder Faktor   absolut konvergiert. Es folgt, dass für jedes   das Partialprodukt

 

existiert. Damit sieht man sogleich mit der Cauchy-Produktformel und der aufsteigenden Folge der Primzahlen  :

 

Im zweiten Schritt wurde die Multiplikativität von   benutzt. Damit folgt

 

wobei der Strich an der zweiten Summe anzeigt, dass nur über alle   summiert wird, deren Primteiler sämtlich   sind. Damit folgt: für jedes   existiert ein   mit

 

Somit konvergiert die Folge der Partialprodukte   für jedes   im Bereich der absoluten Konvergenz gegen   (sogar gleichmäßig auf kompakten Teilmengen) und der Satz ist gezeigt.

Das Euler-Produkt der Riemannschen Zeta-Funktion

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Formulierung

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Im Fall   für alle   ist   offenbar vollständig multiplikativ. Es gilt demnach für alle  

 

Die Funktion   ist dabei auch bekannt als Riemannsche Zeta-Funktion.

Herleitung von Euler

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Die Idee dieses Herleitungsweges wurde bereits von Euler verwendet. Man nehme eine Teilmenge   und eine Primzahl  , so dass   und  . Ist also  , so folgt ebenfalls  . Dann gilt ganz allgemein für  

 

Bezeichnen wir jetzt   als die Folge der Primzahlen in aufsteigender Folge, und   als die Menge der Zahlen, die nicht durch   teilbar sind (z. B.  ). Setze zudem  . Dann hat jedes   die obere Eigenschaft mit der nächsten Primzahl   und es gilt  . Also:

 

und damit induktiv

 

Bildet man auf beiden Seiten den Limes, ergibt sich

 

da die 1 die einzige natürliche Zahl ist, die durch keine Primzahl teilbar ist.

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Einzelnachweise

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  1. Euler-Produkt. In: Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. 1. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim/Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8.
  2. Rainer Schulze-Pillot: Einführung in Algebra und Zahlentheorie. 2. korrigierte und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-79569-8, S. 53.