Filtrierung (Mathematik)

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Die Filtrierung, auch Filtration oder Filterung genannt,[1] ist ein Begriff aus der Mathematik, der vor allem in der Wahrscheinlichkeitstheorie und in der algebraischen Topologie verwendet wird. Es handelt sich um eine bestimmte Eigenschaft einer Familie von Mengen.

Definition

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Eine (aufsteigende) Filtrierung   einer Menge   (oft zusammen mit einer weiteren Struktur wie einer Topologie, einer algebraischen Struktur oder der Eigenschaft der Messbarkeit) ist eine Familie   von Subobjekten und eine total geordnete Indexmenge  , sodass gilt:

falls   in  , dann ist  .

Analog verwendet man auch den Begriff der absteigenden Filtrierung, das heißt   für  .

Manchmal werden zusätzlich noch andere Eigenschaften gefordert, wie beispielsweise bei der Filtrierung einer Algebra, siehe Filtrierung und Algebra.[2][1][3]

Filtrierungen in verschiedenen Strukturen

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Eine absteigende Filtrierung einer Gruppe   besteht aus Untergruppen   für alle  , sodass   für alle  .

Die Filtrierung heißt erschöpfend, falls  , sie heißt Hausdorff oder separiert, wenn  . Sie ist nach oben beschränkt, wenn es ein   gibt mit   bzw. nach unten beschränkt, falls   für ein  .[2]

Eine aufsteigende Filtrierung einer Algebra   über einem Körper   ist eine Sequenz[4]   von Untermoduln von  , sodass

 ,

und die zudem mit der Multiplikation kompatibel ist:

 .

Beispiel

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  1. Für einen Körper   ist der Polynomring   in   Variablen natürlich filtriert mit  .
  2. Jede graduierte Algebra ist filtriert. Sei   ein Körper,  , wobei " " definiert ist durch die Kommutatorrelation  , d. h.   ist nicht kommutativ. Dann ist   ein Beispiel für eine Algebra, die filtriert ist, aber nicht graduiert.

Wahrscheinlichkeitstheorie

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Sei   ein Wahrscheinlichkeitsraum,   eine Indexmenge.

Dann heißt die Familie von σ-Algebren auf  

 

eine Filtrierung (in   oder auf  ), falls:

für alle   mit   gilt  .

Ist   eine Filtrierung, so wird   auch ein filtrierter Wahrscheinlichkeitsraum genannt.

Literatur

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  • John Michael Boardman, M.D.: Homotopy Invariant Algebraic Structures, AMS SpecialsSession: A Conference in Honor of Mike Boardman (Contemporary Mathematics). American Mathematical Soc.
  • John McCleary: A User’s Guide to Spectral Sequences (= Cambridge studies in advanced mathematics. Nr. 58). 2. Auflage. Cambridge University Press, 2001, ISBN 0-521-56759-9.
  • Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.
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Einzelnachweise

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  1. a b Filtration. In: Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. 1. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim/Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8.
  2. a b Albrecht Dold: Lectures on Algebraic Topology. 1. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 1972, ISBN 978-3-662-00756-3, S. 85.
  3. N. Bourbaki: Commutative Algebra. 1. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 1989, ISBN 978-3-540-64239-8, S. 162.
  4. Ernst Kunz: Einführung in die algebraische Geometrie. Vieweg+Teubner Verlag, 1997, ISBN 978-3-528-07287-2, S. 238.