Trigonometrische Gleichung

Mathematische Gleichung
(Weitergeleitet von Goniometrische Gleichung)

Eine trigonometrische Gleichung (auch goniometrische Gleichung) ist eine Gleichung, in der die zu bestimmende Variable im Argument von trigonometrischen Funktionen (Winkelfunktionen) vorkommt. Bei der Lösung dieser Gleichungen sind die Beziehung zwischen den Winkelfunktionen hilfreich, insbesondere die Additionstheoreme.[1]

Anzahl der Lösungen

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Wegen der Periodizität der Winkelfunktionen haben trigonometrische Gleichungen im Allgemeinen unendlich viele Lösungen. Durch Beschränkung der Grundmenge auf ein „Basisintervall“ (zum Beispiel [0,2·π] oder [0,π]) reduziert man die Zahl der Lösungen auf eine endliche Anzahl oder man beschreibt die Lösungen durch einen Periodizitätssummanden (wie k·2·π oder k·π).

Beispiel

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Die trigonometrische Gleichung

 

kann man unter Verwendung der Beziehung   umformen zu

 

Durch Quadrieren erhält man

 

und daraus

 

also

 

mit den Lösungen

 

beziehungsweise im Bogenmaß

 

Da das Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist, muss man diese Lösungen an der Ausgangsgleichung verifizieren. Dadurch erhält man als gültige Lösungen der Ausgangsgleichung

 

Einzelnachweise

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  1. Arnfried Kemnitz: Mathematik zum Studienbeginn. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2011, ISBN 978-3-8348-1741-9, S. 75.