Grad-Shafranov-Gleichung

Die Grad-Shafranov-Gleichung ist in der Plasmaphysik die ideale magnetohydrodynamische (MHD) Zustandsgleichung eines zweidimensionalen Plasmas, etwa in einem Tokamak. Mathematisch ist diese von der gleichen Form wie die Hicks-Gleichung in der Fluiddynamik. Gefunden und benannt wurde die Gleichung im Jahr 1958 vom US-amerikanischen Physiker Harold Grad und H. Rubin sowie im Jahr 1966 vom russisch-sowjetischen Physiker Witali Dmitrijewitsch Schafranow.

Formulierung

In Zylinderkoordinaten $(r,\vartheta ,z)$ mit Geschwindigkeitskomponenten $(v_{r},v_{\vartheta },v_{z})$ ist die Grad-Shafranov-Gleichung für die Flussfunktion $\psi$ mit dem Druck $p(\psi )$ und $F(\psi )=rB_{\vartheta }$ gegeben durch:

${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial r^{2}}}-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}=-\mu _{0}r^{2}{\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} \psi }}-{\frac {1}{2}}{\frac {\mathrm {d} F^{2}}{\mathrm {d} \psi }}.$

Literatur

• Grad, H., and Rubin, H. (1958) Hydromagnetic Equilibria and Force-Free Fields. Proceedings of the 2nd UN Conf. on the Peaceful Uses of Atomic Energy, Vol. 31, Geneva: IAEA p. 190.

• Shafranov, V.D. (1966) Plasma equilibrium in a magnetic field, Reviews of Plasma Physics, Vol. 2, New York: Consultants Bureau, p. 103.
• Woods, Leslie C. (2004) Physics of plasmas, Weinheim: WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, chapter 2.5.4
• Haverkort, J.W. (2009) Axisymmetric Ideal MHD Tokamak Equilibria. Notes about the Grad–Shafranov equation, selected aspects of the equation and its analytical solutions.
• Haverkort, J.W. (2009) Axisymmetric Ideal MHD equilibria with Toroidal Flow. Incorporation of toroidal flow, relation to kinetic and two-fluid models, and discussion of specific analytical solutions.