Graßmann-Plücker-Relation

Die Graßmann-Plücker-Relationen beschreiben Beziehungen zwischen Determinanten mit teilweise übereinstimmenden Spalten.

Definitionen und Sätze

Allgemeine Form

Eine allgemeine Graßmann-Plücker-Relation hat die Form

$\sum _{i=1}^{r+1}(-1)^{i}\cdot \det(A_{1},\dots ,A_{r-1},B_{i})\cdot \det(B_{1},\dots ,B_{i-1},B_{i+1},\dots ,B_{r+1})=0$

wobei $A_{1},\dots ,A_{r-1},B_{1},\dots ,B_{r+1}$ Vektoren in einem r-dimensionalen Vektorraum sind, die die Spalten der Matrizen bilden, deren Determinanten berechnet werden.

Die Dimension des zugrundeliegenden Vektorraums wird häufig als Rang bezeichnet (und daher hier als r abgekürzt). In Fällen, in denen die Spalten homogene Koordinaten von Punkten darstellen, liegen diese Punkte in einem projektiven Raum eine Dimension niedriger.

Konkrete Form für niedrige Dimensionen

In Rang 2 hat die Formel 3 Summanden und verwendet 4 Vektoren A bis D:

$\det(A,B)\cdot \det(C,D)-\det(A,C)\cdot \det(B,D)+\det(A,D)\cdot \det(B,C)=0$

In Rang 3 hat die Formel 4 Summanden und verwendet 6 Vektoren A bis F:

$\det(A,B,C)\cdot \det(D,E,F)-\det(A,B,D)\cdot \det(C,E,F)+\det(A,B,E)\cdot \det(C,D,F)-\det(A,B,F)\cdot \det(C,D,E)=0$

Kurzer, konzeptioneller Beweis

Wir fixieren $A_{1},\dots ,A_{r-1}$ und betrachten die Abbildung

$(B_{1},\dots ,B_{r+1})\mapsto {\text{ die linke Seite der Graßmann-Plücker-Relation}}$

Diese Abbildung ist offenbar multilinear (d. h. linear in jedem $B_{i}$ separat). Außerdem wird die rechte Seite null, wenn es $j\neq k$ gibt mit $B_{j}=B_{k}$, denn dann sind nur die Summanden mit $i=j$ und $i=k$ möglicherweise ungleich null, und sie heben einander weg. Das heißt, dass die Abbildung alternierend ist. Ein grundlegender Satz der linearen Algebra besagt, dass eine alternierende multilineare Abbildung von r+1 Vektoren auf einem r-dimensionalen Vektorraum identisch Null sein muss. Das ist gerade die Graßmann-Plücker-Relation.

Langer Beweis

Falls alle vorkommenden Summanden 0 sind, ist die Gleichung trivialerweise erfüllt. Nehmen wir also an, dass einer der Summanden von 0 verschieden ist. O.B.d.A. sei dies der erste Summand, da wir die Vektoren der beiden Mengen A und B beliebig umsortieren können. Der erste Summand besteht also aus zwei Matrizen, deren Determinanten von 0 verschieden sind.

Bezeichnen wir die Matrix in der ersten Determinante mit M und die zweite mit N.

$M=(A_{1},\dots ,A_{r-1},B_{1})\quad N=(B_{2},\dots ,B_{r+1})$

Multipliziert man alle vorkommenden Matrizen mit der inversen Matrix $M^{-1}$, so wird jede Determinante mit dem Faktor $\det(M^{-1})\neq 0$ multipliziert, die gesamte Gleichung also mit dem Quadrat davon. Diesen Faktor kann man ausklammern und aus der Gleichung ziehen. Da $M^{-1}M$ die Einheitsmatrix ist, kann man also o. B. d. A. annehmen, dass die erste Matrix die Einheitsmatrix ist.

In diesem Fall gilt $A_{i}=e_{i}$ (für $i=1,\dots ,(r-1)$) und $B_{1}=e_{r}$.

$\sum _{i=1}^{r+1}(-1)^{i}\cdot \det(e_{1},\dots ,e_{r-1},B_{i})\cdot \det(B_{1},\dots ,B_{i-1},B_{i+1},\dots ,B_{r+1})=$

$\det(E_{r})\cdot \det(B_{2},\dots ,B_{r+1})+\sum _{i=2}^{r+1}(-1)^{i}\cdot \det(e_{1},\dots ,e_{r-1},B_{i})\cdot \det(e_{r},\dots ,B_{i-1},B_{i+1},\dots ,B_{r+1})=$

$\det(N)+\sum _{i=2}^{r+1}(-1)^{i}\cdot n_{r,(i-1)}\cdot \det(N_{r,(i-1)})=$

$\det(N)-\det(N)=0$

Dabei wird die Summe als Entwicklung der Determinante nach der letzten Zeile aufgefasst. Der Eintrag $n_{r,(i-1)}$, der in der Matrix $N$ in der letzten Zeile $r$ und in der Spalte $i$ steht, entspricht dabei der letzten Komponente des Vektors $B_{i}$, da $N$ mit $B_{2}$ anfängt. Die Matrix $N_{r,(i-1)}$ ist die Untermatrix, wenn man den Vektor $B_{i}$ und die letzte Zeile entfernt. Diese Untermatrizen ergeben sich durch Entwicklung der zweiten Determinante nach der ersten Spalte.

Anwendungen

• Die Graßmann-Plücker-Relationen gehören zu den Syzygien. Sie können verwendet werden, um Beweise (etwa von geometrischen Schließungssätzen) zu formulieren.
• Orientierte Matroide können dadurch charakterisiert werden, dass sie in keinem offensichtlichen Widerspruch zu den Graßmann-Plücker-Relationen stehen.
• Graßmann-Plücker-Koordinaten, die zur Beschreibung geometrischer Objekte in höherdimensionalen projektiven Räumen verwendet werden, müssen diese Relationen erfüllen, um konsistent zu sein.

Siehe auch

• Syzygie

Literatur

• Hermann Graßmann: Die lineale Ausdehnungslehre. 1. Auflage. 1844 (uni-potsdam.de [PDF; 11,0 MB]). 
• Jürgen Richter-Gebert und Thorsten Orendt: Geometriekalküle. 1. Auflage. Springer, Berlin Heidelberg 2009, ISBN 978-3-642-02529-7.