Gruppe der rationalen Punkte auf der Einheitshyperbel

Die Gruppe der rationalen Punkte auf der Einheitshyperbel $H(\mathbb {Q} )$ besteht aus den Punkten $(x,y)$ mit rationalen Koordinaten, für die $x^{2}-y^{2}=1$ gilt. Die Gruppe $H(\mathbb {Q} )$ besteht aus der Vereinigung beider Hyperbeläste, jeweils für $x<0$ und $x>0$.

Gruppenoperation

Die Menge der rationalen Punkte bildet eine unendliche abelsche Gruppe. Das neutrale Element ist der Punkt $(1,0)$. Die Gruppenoperation oder „Summe“ ist $(x,y)+(t,u)=(xt+yu,xu+yt)$.

Geometrisch ist dies die Hyperbelwinkeladdition: wenn $x=\cosh(\alpha )$ und $y=\sinh(\alpha )$ ist, sowie $t=\cosh(\beta )$ und $u=\sinh(\beta )$, dann ist deren Summe $(xt+yu,xu+yt)$ der rationale Punkt auf der Einheitshyperbel mit dem Winkel $\alpha +\beta$ im Sinne der gewöhnlichen Addition von Hyperbelwinkeln. Es gilt nämlich $xt+yu=\cosh(\alpha +\beta )$ und $xu+yt=\sinh(\alpha +\beta )$. Man beachte, dass die "Winkel" jeweils nur als Parameter zu betrachten sind und nicht den tatsächlichen Winkeln der Punkte auf der Hyperbel entsprechen.

Gruppenstruktur

Die Gruppe $H(\mathbb {Q} )$ ist isomorph zu einer unendlichen direkten Summe von zyklischen Untergruppen von $H(\mathbb {Q} )$:

$H(\mathbb {Q} )\cong H'\oplus \left(\bigoplus _{p\in \mathbb {P} }H_{p}\right),$

wobei die Untergruppe $H'=\left\{\pm (1,0)\right\}$ aus zwei Elementen besteht und die Untergruppen $H_{p}$ die unendlichen zyklischen Gruppen sind, die jeweils von dem Punkt der Form $\left({\tfrac {p^{2}+1}{2p}},{\tfrac {p^{2}-1}{2p}}\right)$ erzeugt werden.

Literatur

• Lin Tan: The Group of Rational Points on the Unit Circle. In: Mathematics Magazine. Bd. 69, Nr. 3, June 1996, S. 163–171, doi:10.2307/2691462, Digitalisat (PDF; 792 kB) (Memento vom 8. März 2012 im Internet Archive) oder direkt https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Allendoerfer/1997/0025570x.di021195.02p0087x.pdf