Harris-Kette

Eine Harris-Kette, benannt nach dem Mathematiker Theodore E. Harris, ist eine spezielle Markow-Kette in diskreter Zeit auf einem messbaren Zustandsraum. Harris-Ketten sind unter anderem interessant, da man für diese Ergodensätze formulieren kann.

Definition

Sei $(S,\Sigma )$ ein messbarer Raum. Sei $(X_{n})_{n\in \mathbb {N} _{0}}$ eine Markow-Kette auf dem Zustandsraum $(S,\Sigma )$ mit Übergangskern $P$. Dann heißt $(X_{n})_{n\in \mathbb {N} _{0}}$ Harris-Kette, falls es Mengen $A,B\in \Sigma$, ein $\varepsilon >0$ und ein Wahrscheinlichkeitsmaß $\rho$ auf $(S,\Sigma )$ mit $\rho (B)=1$ existieren, so dass gilt:

1. Für alle $x_{0}\in S$ gilt ${\text{P}}(\tau _{A}<\infty \mid X_{0}=x_{0})>0$ und
2. für alle $x\in A$ und alle messbaren $C\subseteq B$ gilt $P(x,C)\geq \varepsilon \rho (C)\,.$

Dabei bezeichnet $\tau _{A}=\inf\{n\in \mathbb {N} _{0}:X_{n}\in A\}$ den ersten Eintrittszeitpunkt der Kette in die Menge $A$.