Waringsches Problem

Das Waringsche Problem ist ein Problem der Zahlentheorie. Es verallgemeinert den Vier-Quadrate-Satz, der besagt, dass jede natürliche Zahl als Summe von vier Quadratzahlen dargestellt werden kann. In seinem Werk Meditationes algebraicae (1770) stellte Edward Waring die Vermutung auf, dass es für jeden Exponenten k eine solche gemeinsame Summandenanzahl geben müsse. Das Waringsche Problem gilt heute als gelöst.

Das Waringsche Problem

Formulierung

Zu jedem natürlichen Exponenten $k\in \mathbb {N}$ existiert eine natürliche Zahl $g(k)\in \mathbb {N}$ derart, dass jede Zahl $n\in \mathbb {N}$ als Summe von höchstens $g(k)$ $k$ -ten Potenzen dargestellt werden kann, also eine Darstellung der Form

n={a_{1}}^{k}+{a_{2}}^{k}\cdots +{a_{g}}^{k}

mit natürlichen Zahlen $g,\ a_{1},a_{2},\dots ,a_{g}\in \mathbb {N}$ besitzt, wobei $g\leq g(k)$ ist.

Erläuterungen

Darüber hinaus wird dann üblicherweise nach der kleinsten derartigen Zahl $g(k)$ gefragt. Beispielsweise besagt der Vier-Quadrate-Satz, dass jede natürliche Zahl durch eine Summe von vier Quadratzahlen darstellbar ist, also $g(2)\leq 4$ . Da, wie die Zahl $7=2^{2}+1^{2}+1^{2}+1^{2}$ zeigt, drei Quadrate nicht immer genügen, muss $g(2)\geq 4$ sein, insgesamt also $g(2)=4$ .

Während man also 4 Quadrate für die Zahl 7 benötigt, sind 9 Kubikzahlen für die Zahl 23 erforderlich und 19 vierte Potenzen für die Zahl 79. Waring vermutete, dass diese Werte die höchstmöglichen sind, also $g(2)=4,g(3)=9$ und $g(4)=19$ .

Lösungen für kleine Exponenten

Warings Vermutung wurde 1909 von David Hilbert bewiesen.^[1] Die Aussage wird deshalb manchmal auch als Satz von Waring-Hilbert bezeichnet. Der Hilbertsche Beweis wurde 1912 durch Robert Remak und Erik Stridsberg vereinfacht.^[2] Einen elementaren Beweis für das Waringsche Problem, der andere Ideen als Hilbert nutzte, lieferte 1942 Juri Wladimirowitsch Linnik mithilfe von Ergebnissen von Lew Schnirelman.^[3]

k=2: Durch den Vier-Quadrate-Satz ist $g(2)=4$ bewiesen.

k=3: Dass $g(3)=9$ ist, wurde in den Jahren 1909 bis 1912 von Arthur Wieferich und Aubrey J. Kempner (1880–1973) bewiesen.^[4]^[5] Edmund Landau konnte ebenfalls bereits im Jahr 1909 zeigen, dass nur endlich viele natürliche Zahlen neun Kuben benötigen,^[6] jede hinreichend große Zahl also als Summe von acht Kuben darstellbar ist, und Leonard E. Dickson fand 1939, dass 23 und 239 die beiden einzigen Zahlen sind, die tatsächlich neun Kuben benötigen.^[7] Schon Arthur Wieferich vermutete, dass tatsächlich nur 15 Zahlen acht und nur 121 Zahlen sieben Kuben benötigen.^[8] Heute wird allgemein angenommen, dass man nur für Zahlen ≤ 454 acht Kuben (oder neun für 23 und 239), für Zahlen ≤ 8.042 sieben Kuben und für Zahlen ≤ 1.290.740 sechs Kuben benötigt, alle hinreichend großen Zahlen also als Summe von fünf Kuben darstellbar sind.^[9] Den Beweis des Sieben-Kuben-Satzes konnte als erster 1941 Juri Linnik führen,^[10] von George Leo Watson wurde er 1951 deutlich vereinfacht.^[11]

k=4: $g(4)=19$ wurde 1986 von Ramachandran Balasubramanian, François Dress und Jean-Marc Deshouillers gezeigt.^[12] Bereits seit 1939 weiß man außerdem, dass jede hinreichend große Zahl als Summe von 16 Biquadraten darstellbar ist, die Menge der Zahlen, die tatsächlich 17, 18 oder 19 vierte Potenzen benötigen, also endlich ist.^[13] Dieser Wert kann nicht verbessert werden.^[14]

k>4: $g(5)=37$ wurde im Jahr 1964 von Chen Jingrun nachgewiesen.^[15] S. Sivasankaranarayana Pillai zeigte 1940 $g(6)=73$ ,^[16] und Leonard E. Dickson 1937 $g(7)=143$ .

Allgemeine Lösung

Durch die Arbeiten von Leonard Dickson, Pillai, R. K. Rubugunday und Ivan M. Niven sind nun alle anderen g(k) ebenfalls bekannt.^[17]^[18]^[19]^[20]

g(k)={\begin{cases}\left\lfloor \left({\frac {3}{2}}\right)^{k}\right\rfloor +2^{k}-2&{\text{ für }}k\leq 6{\text{ oder }}3^{k}-2^{k}+2<(2^{k}-1)\left\lfloor \left({\frac {3}{2}}\right)^{k}\right\rfloor \\\left\lfloor \left({\frac {3}{2}}\right)^{k}\right\rfloor +\left\lfloor \left({\frac {4}{3}}\right)^{k}\right\rfloor +2^{k}-c_{k}&{\text{ für }}k>6{\text{ und }}3^{k}-2^{k}+2\geq (2^{k}-1)\left\lfloor \left({\frac {3}{2}}\right)^{k}\right\rfloor \end{cases}}

,

wobei $c_{k}\in \{2,3\}$ und $\textstyle c_{k}=2\Leftrightarrow \left\lfloor \left({\frac {3}{2}}\right)^{k}\right\rfloor \cdot \left\lfloor \left({\frac {4}{3}}\right)^{k}\right\rfloor +\left\lfloor \left({\frac {3}{2}}\right)^{k}\right\rfloor +\left\lfloor \left({\frac {4}{3}}\right)^{k}\right\rfloor =2^{k}$ .^[21]

Es wird vermutet, dass der zweite Fall für kein k auftritt. Die Bedingung für den ersten Fall ist für alle $6\leq k\leq 200.000$ erfüllt^[22] und es ist bekannt, dass es höchstens endlich viele $k$ geben kann, für die der zweite Fall überhaupt in Frage käme.^[23] Sollte sich diese Vermutung bestätigen, so könnte man obige Formel zu

g(k)=\left\lfloor \left({\frac {3}{2}}\right)^{k}\right\rfloor +2^{k}-2

vereinfachen.

k    1 2 3  4  5  6   7   8   9   10 …
g(k) 1 4 9 19 37 73 143 279 548 1079 …

(Folge A002804 in OEIS)

Für größere $k$ kann die Anzahl auch mit $g(k)\approx 2^{k}$ abgeschätzt werden.

Kleinste Zahl a(k)

Die jeweils kleinste Zahl $a(k),$ die im Waringschen Problem die maximale Anzahl $g(k)$ an Summanden benötigt, ist für kleine $k$ :

k    1 2  3  4   5   6    7    8     9    10 …
g(k) 1 4  9 19  37  73  143  279   548  1079 …
a(k) 1 7 23 79 223 703 2175 6399 19455 58367 …

(Folge A018886 in OEIS)

Beispiel für $k=3$ : Demnach ist jede Zahl als Summe von 9 Dreierpotenzen (Kuben) darstellbar. 23 ist die kleinste Zahl, die nicht als Summe von weniger als 9 Kuben dargestellt werden kann, es ist $23=2^{3}+2^{3}+1^{3}+1^{3}+1^{3}+1^{3}+1^{3}+1^{3}+1^{3}$ .

Quellen und Literatur

Helmut Koch, Herbert Pieper: Zahlentheorie. Ausgewählte Methoden und Ergebnisse (= Studienbücherei). VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1976.
Melvyn B. Nathanson: Additive Number Theory. The Classical Bases (= Graduate Texts in Mathematics. Band 164). Springer-Verlag, New York 1996, ISBN 0-387-94656-X.
Edward Waring: Meditationes algebraicae. Cambridge ³1782.
Dennis Weeks (Hrsg.): Meditationes algebraicae. An English translation of the work of Edward Waring. Providence: American Mathematical Society, 1991. ISBN 0821801694.

Weblinks

Wikisource: David Hilbert: Gesammelte Abhandlungen, Erster Band, 11. Beweis für die Darstellbarkeit der ganzen Zahlen durch eine feste Anzahl n-ter Potenzen (Waringsches Problem). – Quellen und Volltexte

Eric W. Weisstein: Waring’s Problem. In: MathWorld (englisch).

Einzelnachweise

↑ David Hilbert: Beweis für die Darstellbarkeit der ganzen Zahlen durch eine feste Anzahl $n$ -ter Potenzen (Waringsches Problem). In: Mathematische Annalen. 67 (1909), S. 281–300. Vgl. Erhard Schmidt: Zum Hilbertschen Beweise des Waringschen Theorems. (Aus einem an Herrn Hilbert gerichteten Briefe.) In: Mathematische Annalen. 74 (1913), Nr. 2, S. 271–274.
↑ Erik Stridsberg: Sur la démonstration de M.(onsieur) Hilbert du théorème de Waring. In: Mathematische Annalen. 72 (1912), S. 145–152; Robert Remak: Bemerkung zu Herrn Stridsbergs Beweis des Waringschen Theorems. In: Mathematische Annalen 72 (1912), S. 153–156.
↑ Juri Wladimirowitsch Linnik: Элементарное решение проблемы Waring’a по методу Шнирельмана [= Elementarnoe rešenie problemy Waring’a po metodu Šnirel’mana. (Elementare Lösung des Waringschen Problems mit Schnirelmans Methode.)] (PDF; 614 kB) In: Recueil Mathématique. Математический Сборник [= Matematičeskij Sbornik (Mathematische Sammlung)] N. F. 12/54 (1943), Nr. 2, S. 225–230.
↑ Arthur Wieferich: Beweis des Satzes, daß sich eine jede ganze Zahl als Summe von höchstens neun positiven Kuben darstellen läßt. In: Mathematische Annalen. 66 (1909), S. 95–101.
↑ Aubrey John Kempner: Bemerkungen zum Waringschen Problem. In: Mathematische Annalen. 72 (1912), S. 387–399.
↑ Edmund Landau: Über eine Anwendung der Primzahltheorie auf das Waringsche Problem in der elementaren Zahlentheorie. In: Mathematische Annalen. 66 (1909), S. 102–105.
↑ Leonard Eugene Dickson: All integers except 23 and 239 are sums of eight cubes. (PDF; 376 kB) In: Bulletin of the American Mathematical Society. 45 (1939), S. 588–591.
↑ Arthur Wieferich: Beweis des Satzes, daß sich eine jede ganze Zahl als Summe von höchstens neun positiven Kuben darstellen läßt. In: Mathematische Annalen. 66 (1909), hier S. 95: „Tabellen der kleinsten Anzahlen von positiven Kuben, in die sich die ganzen Zahlen zerlegen lassen, sind […] für die Zahlen bis 40.000 aufgestellt worden. Aus ihnen ergab sich, daß bis zur Grenze 40.000 hin alle Zahlen größer als 239 sich durch höchstens 8, oberhalb 454 durch höchstens 7 und oberhalb 8.042 durch höchstens 6 Kuben darstellen lassen, so daß vermutlich über eine gewisse Grenze (8.042) hinaus eine jede ganze Zahl als Summe von höchstens 6 Kuben darstellbar ist.“
↑ Vgl. W. S. Baer: Über die Zerlegung der ganzen Zahlen in sieben Kuben. In: Mathematische Annalen. 74 (1913), Nr. 4, S. 511–514. – François Bertault; Olivier Ramaré; Paul Zimmermann: On sums of seven cubes. (PDF; 243 kB) In: Mathematics of Computation. 68 (1999), Nr. 227, S. 1303–1310.
↑ Juri Wladimirowitsch Linnik: On the representation of large numbers as sums of seven cubes. (О разложении больших чисел на семь кубов [= O razloženii bol’šich čsel na sem’ kubov. (Über die Darstellung großer Zahlen als Summe von sieben Kuben.)]) (PDF; 600 kB) In: Comptes Rendus (Doklady) de l’Académie des Sciences de l’URSS. N. F. 35 (1942), Nr. 6, S. 162 ff. Auch in: Recueil Mathématique Математический Сборник [= Matematičeskij Sbornik (Mathematische Sammlung)] N. F. 12/54 (1943), Nr. 2, S. 218–224.
↑ George Leo Watson: A proof of the seven cubes theorem. In: Journal of the London Mathematical Society. 26 (1951), S. 153–156.
↑ Ramachandran Balasubramanian; Jean-Marc Deshouillers; François Dress: Problème de Waring pour les bicarrés. In: Comptes rendus de l’Académie des sciences. Série I: Mathematique 303 (1986), Nr. 4, S. 85–88, Nr. 5, S. 161–163.
↑ Harold Davenport: On Waring’s Problem for Fourth Powers. In: Annals of Mathematics. 40 (1939), Nr. 4, S. 731–747.
↑ Aubrey John Kempner: Bemerkungen zum Waringschen Problem. In: Mathematische Annalen. 72 (1912), hier S. 395–396 (§ 4. Es kommen in der natürlichen Zahlreihe immer wieder Zahlen vor, die mindestens 16 positive Biquadrate erfordern).
↑ Chen Jingrun: Waring’s Problem for g(5) = 37 (Memento vom 18. Dezember 2015 im Internet Archive) (PDF; 501 kB) In: Scientia Sinica. 13 (1964), S. 1547–1568. Auch in: Chinese Mathematics. Acta Scientiarum Mathematicarum. 6 (1965), S. 105–127.
↑ Subbayya Sivasankaranarayana Pillai: On Waring’s problem g(6) = 73. In: Proceedings of the Indian Academy of Sciences A 12 (1940). S. 30–40.
↑ Leonard Eugene Dickson: The Waring Problem and its generalizations. In: Bulletin of the American Mathematical Society. 42 (1936), S. 833–842.
↑ Subbayya Sivasankaranarayana Pillai: On Waring’s Problem. In: Journal of the Indian Mathematical Society. 2 (1936), Nr. 2, S. 16–44; vgl. Sarvadaman Chowla: Pillai’s Exact Formulae for the Number g(n) in Waring’s Problem. (PDF; 41 kB) In: Proceedings of the Indian Academy of Sciences. A 4 (1936), S. 261.
↑ Shri Raghunath Krishna Rubugunday: On g(k) in Waring’s problem. In: Journal of the Indian Mathematical Society. 6 (1942), Nr. 2, S. 192–198.
↑ Ivan Morton Niven: An unsolved case of the Waring Problem. In: American Journal of Mathematics. 66 (1944), S. 137–143.
↑ W. J. Ellison: Waring’s problem. In: American Mathematical Monthly. 1971, Band 78, Seiten 10–36, Theorem 4.1.
↑ R. M. Stemmler: The ideal Waring theorem for exponents 401–200,000. In: Math. Comp. 1964, Band 18, Seiten 144–146.
↑ K. Mahler: On the fractional parts of powers of real numbers. In: Mathematika. 1957, Band 4, Seiten 122–124.

[1] David Hilbert: Beweis für die Darstellbarkeit der ganzen Zahlen durch eine feste Anzahl $n$ -ter Potenzen (Waringsches Problem). In: Mathematische Annalen. 67 (1909), S. 281–300. Vgl. Erhard Schmidt: Zum Hilbertschen Beweise des Waringschen Theorems. (Aus einem an Herrn Hilbert gerichteten Briefe.) In: Mathematische Annalen. 74 (1913), Nr. 2, S. 271–274.

[2] Erik Stridsberg: Sur la démonstration de M.(onsieur) Hilbert du théorème de Waring. In: Mathematische Annalen. 72 (1912), S. 145–152; Robert Remak: Bemerkung zu Herrn Stridsbergs Beweis des Waringschen Theorems. In: Mathematische Annalen 72 (1912), S. 153–156.

[3] Juri Wladimirowitsch Linnik: Элементарное решение проблемы Waring’a по методу Шнирельмана [= Elementarnoe rešenie problemy Waring’a po metodu Šnirel’mana. (Elementare Lösung des Waringschen Problems mit Schnirelmans Methode.)] (PDF; 614 kB) In: Recueil Mathématique. Математический Сборник [= Matematičeskij Sbornik (Mathematische Sammlung)] N. F. 12/54 (1943), Nr. 2, S. 225–230.

[4] Arthur Wieferich: Beweis des Satzes, daß sich eine jede ganze Zahl als Summe von höchstens neun positiven Kuben darstellen läßt. In: Mathematische Annalen. 66 (1909), S. 95–101.

[5] Aubrey John Kempner: Bemerkungen zum Waringschen Problem. In: Mathematische Annalen. 72 (1912), S. 387–399.

[6] Edmund Landau: Über eine Anwendung der Primzahltheorie auf das Waringsche Problem in der elementaren Zahlentheorie. In: Mathematische Annalen. 66 (1909), S. 102–105.

[7] Leonard Eugene Dickson: All integers except 23 and 239 are sums of eight cubes. (PDF; 376 kB) In: Bulletin of the American Mathematical Society. 45 (1939), S. 588–591.

[8] Arthur Wieferich: Beweis des Satzes, daß sich eine jede ganze Zahl als Summe von höchstens neun positiven Kuben darstellen läßt. In: Mathematische Annalen. 66 (1909), hier S. 95: „Tabellen der kleinsten Anzahlen von positiven Kuben, in die sich die ganzen Zahlen zerlegen lassen, sind […] für die Zahlen bis 40.000 aufgestellt worden. Aus ihnen ergab sich, daß bis zur Grenze 40.000 hin alle Zahlen größer als 239 sich durch höchstens 8, oberhalb 454 durch höchstens 7 und oberhalb 8.042 durch höchstens 6 Kuben darstellen lassen, so daß vermutlich über eine gewisse Grenze (8.042) hinaus eine jede ganze Zahl als Summe von höchstens 6 Kuben darstellbar ist.“

[9] Vgl. W. S. Baer: Über die Zerlegung der ganzen Zahlen in sieben Kuben. In: Mathematische Annalen. 74 (1913), Nr. 4, S. 511–514. – François Bertault; Olivier Ramaré; Paul Zimmermann: On sums of seven cubes. (PDF; 243 kB) In: Mathematics of Computation. 68 (1999), Nr. 227, S. 1303–1310.

[10] Juri Wladimirowitsch Linnik: On the representation of large numbers as sums of seven cubes. (О разложении больших чисел на семь кубов [= O razloženii bol’šich čsel na sem’ kubov. (Über die Darstellung großer Zahlen als Summe von sieben Kuben.)]) (PDF; 600 kB) In: Comptes Rendus (Doklady) de l’Académie des Sciences de l’URSS. N. F. 35 (1942), Nr. 6, S. 162 ff. Auch in: Recueil Mathématique Математический Сборник [= Matematičeskij Sbornik (Mathematische Sammlung)] N. F. 12/54 (1943), Nr. 2, S. 218–224.

[11] George Leo Watson: A proof of the seven cubes theorem. In: Journal of the London Mathematical Society. 26 (1951), S. 153–156.

[12] Ramachandran Balasubramanian; Jean-Marc Deshouillers; François Dress: Problème de Waring pour les bicarrés. In: Comptes rendus de l’Académie des sciences. Série I: Mathematique 303 (1986), Nr. 4, S. 85–88, Nr. 5, S. 161–163.

[13] Harold Davenport: On Waring’s Problem for Fourth Powers. In: Annals of Mathematics. 40 (1939), Nr. 4, S. 731–747.

[14] Aubrey John Kempner: Bemerkungen zum Waringschen Problem. In: Mathematische Annalen. 72 (1912), hier S. 395–396 (§ 4. Es kommen in der natürlichen Zahlreihe immer wieder Zahlen vor, die mindestens 16 positive Biquadrate erfordern).

[15] Chen Jingrun: Waring’s Problem for g(5) = 37 (Memento vom 18. Dezember 2015 im Internet Archive) (PDF; 501 kB) In: Scientia Sinica. 13 (1964), S. 1547–1568. Auch in: Chinese Mathematics. Acta Scientiarum Mathematicarum. 6 (1965), S. 105–127.

[16] Subbayya Sivasankaranarayana Pillai: On Waring’s problem g(6) = 73. In: Proceedings of the Indian Academy of Sciences A 12 (1940). S. 30–40.

[17] Leonard Eugene Dickson: The Waring Problem and its generalizations. In: Bulletin of the American Mathematical Society. 42 (1936), S. 833–842.

[18] Subbayya Sivasankaranarayana Pillai: On Waring’s Problem. In: Journal of the Indian Mathematical Society. 2 (1936), Nr. 2, S. 16–44; vgl. Sarvadaman Chowla: Pillai’s Exact Formulae for the Number g(n) in Waring’s Problem. (PDF; 41 kB) In: Proceedings of the Indian Academy of Sciences. A 4 (1936), S. 261.

[19] Shri Raghunath Krishna Rubugunday: On g(k) in Waring’s problem. In: Journal of the Indian Mathematical Society. 6 (1942), Nr. 2, S. 192–198.

[20] Ivan Morton Niven: An unsolved case of the Waring Problem. In: American Journal of Mathematics. 66 (1944), S. 137–143.

[21] W. J. Ellison: Waring’s problem. In: American Mathematical Monthly. 1971, Band 78, Seiten 10–36, Theorem 4.1.

[22] R. M. Stemmler: The ideal Waring theorem for exponents 401–200,000. In: Math. Comp. 1964, Band 18, Seiten 144–146.

[23] K. Mahler: On the fractional parts of powers of real numbers. In: Mathematika. 1957, Band 4, Seiten 122–124.

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