Hilbertscher Basissatz

mathematischer Satz
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Der Hilbertsche Basissatz (nach David Hilbert)[1] ist ein grundlegender Satz in der algebraischen Geometrie, er verbindet verschiedene Endlichkeitsbedingungen.

Dieser Artikel beschäftigt sich mit kommutativer Algebra. Insbesondere sind alle betrachteten Ringe kommutativ und haben ein Einselement. Für weitere Details siehe Kommutative Algebra.

Formulierung

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Der Hilbertsche Basissatz besagt in seiner allgemeinen Form:

  • Ist   ein noetherscher Ring, so ist jeder Polynomring   mit Koeffizienten in   noethersch.[2][3]

Da die Algebren endlichen Typs genau die Quotientenringe von Polynomringen sind, ist diese Aussage äquivalent zu:

  • Ist   ein noetherscher Ring und   eine  -Algebra endlichen Typs, so ist auch   noethersch.

Die (bis auf den Sprachgebrauch) 1888 von Hilbert bewiesene Fassung behandelt den Spezialfall des Körpers:

  • Der Polynomring   über einem Körper   ist noethersch.

Folgerung

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Eine wichtige Anwendung ist die folgende Aussage: Ist eine Teilmenge eines   für einen Körper   durch unendlich viele Polynomgleichungen beschrieben, so genügen bereits endlich viele von ihnen.

Formaler: Sei   eine beliebige Menge von Polynomen mit der Menge der gemeinsamen Nullstellen (auch Verschwindungsmenge von   genannt):

 

Dann gibt es endlich viele  , so dass gilt

 .

Dies ist der schwierigste Teil des Beweises der Aussage, dass die Zariski-Topologie eine Topologie ist.

Siehe auch

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Einzelnachweise

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  1. Hilbert, Ueber die Theorie der algebraischen Formen, Mathematische Annalen, Band 36, 1890, S. 473–534
  2. Ernst Kunz: Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie, Vieweg (1980), ISBN 3-528-07246-6, Kapitel I, §2, Satz 2.3 (sehr kurzer Beweis)
  3. B. L. van der Waerden: Algebra II, Springer-Verlag (1967), ISBN 3-540-03869-8, §115