Hotellingsche `T`-Quadrat-Verteilung

	Hotellingsche T-Quadrat-Verteilung
	Dichtefunktion ;
	Verteilungsfunktion;
Parameter	p – Dimension der Zufallsvariablen ; m – verknüpft mit der Stichprobengröße
Träger	if ; otherwise.

Die Hotellingsche T-Quadrat-Verteilung^[1] ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die 1931 von Harold Hotelling erstmals beschrieben wurde.^[2] Sie ist eine Verallgemeinerung der Studentschen t-Verteilung.

Definition

Die quadratische Form

t^{2}=n({\mathbf {x} }-{\mathbf {\mu } })'{\mathbf {W} }^{-1}({\mathbf {x} }-{\mathbf {\mu } })\sim T(p,n-1)

folgt einer Hotellingschen T-Quadrat-Verteilung mit

$n$ einer Anzahl von Punkten
${\mathbf {x} }$ ist ein Spaltenvektor mit $p$ Elementen
${\mathbf {W} }$ ist eine $p\times p$ -Kovarianzmatrix

Eigenschaften

Es sei $x\sim N_{p}(\mu ,{\mathbf {V} })$ eine Zufallsvariable mit einer multivariaten Normalverteilung und ${\mathbf {W} }\sim W_{p}(m,{\mathbf {V} })$ (unabhängig von $x$ ) habe eine Wishart-Verteilung mit einer nicht-singulären Kovarianzmatrix $\mathbf {V}$ und mit $m=n-1$ . Dann ist die Verteilung von $t^{2}$ : $T^{2}(p,m)$ , Hotellingsche T-Quadrat-Verteilung mit Parametern $p$ und $m$ .

Für die F-Verteilung $F$ gilt:

{\frac {m-p+1}{pm}}T^{2}\sim F_{p,m-p+1}

.

Unter der Annahme, dass

{\mathbf {x} }_{1},\dots ,{\mathbf {x} }_{n}

$p\times 1$ -Spaltenvektoren mit reellen Zahlen sind.

{\overline {\mathbf {x} }}=(\mathbf {x} _{1}+\cdots +\mathbf {x} _{n})/n

sei der Mittelwert. Die positiv definite $p\times p$ -Matrix

{\mathbf {W} }=\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {x} _{i}-{\overline {\mathbf {x} }})(\mathbf {x} _{i}-{\overline {\mathbf {x} }})'/(n-1)

sei ihre Stichproben-Kovarianzmatrix. (Die Transponierte einer Matrix $M$ sei mit $M'$ bezeichnet). $\mu$ sei ein $p\times 1$ -Spaltenvektor (bei Anwendung ein Schätzer des Mittelwertes). Dann ist die Hotellingsche T-Quadrat-Verteilung

t^{2}=n({\overline {\mathbf {x} }}-{\mathbf {\mu } })'{\mathbf {W} }^{-1}({\overline {\mathbf {x} }}-{\mathbf {\mu } }).

$t^{2}$ hat eine enge Beziehung zum quadrierten Mahalanobis-Abstand.

Wenn ${\mathbf {x} }_{1},\dots ,{\mathbf {x} }_{n}\sim N_{p}(\mu ,{\mathbf {V} })$ unabhängig sind und ${\overline {\mathbf {x} }}$ und ${\mathbf {W} }$ wie oben definiert sind, dann hat ${\mathbf {W} }$ eine Wishart-Verteilung mit $n-1$ Freiheitsgraden, so dass^[3]

\mathbf {W} \sim W_{p}(V,n-1)

und ist unabhängig von ${\overline {\mathbf {x} }}$ und

{\overline {\mathbf {x} }}\sim {\mathcal {N}}_{p}(\mu ,V/n)

.

Daraus folgt

t^{2}=n({\overline {\mathbf {x} }}-{\mathbf {\mu } })'{\mathbf {W} }^{-1}({\overline {\mathbf {x} }}-{\mathbf {\mu } })\sim T^{2}(p,n-1).

Einzelnachweise

↑ Hotelling's T². Glossary of statistical terms. In: International Statistical Institute. 1. Juni 2011, abgerufen am 25. September 2020 (englisch).
↑ H. Hotelling (1931). The generalization of Student’s ratio, Ann. Math. Statist., 2(3), S. 360–378, doi:10.1214/aoms/1177732979 JSTOR:2957535.
↑ K.V. Mardia, J.T. Kent, and J.M. Bibby (1979) Multivariate Analysis, Academic Press, ISBN 0-12-471250-9.

[:0-1] Hotelling's T². Glossary of statistical terms. In: International Statistical Institute. 1. Juni 2011, abgerufen am 25. September 2020 (englisch).

[2] H. Hotelling (1931). The generalization of Student’s ratio, Ann. Math. Statist., 2(3), S. 360–378, doi:10.1214/aoms/1177732979 JSTOR:2957535.

[MKB-3] K.V. Mardia, J.T. Kent, and J.M. Bibby (1979) Multivariate Analysis, Academic Press, ISBN 0-12-471250-9.

[1]

[2]

[3]

Hotellingsche T-Quadrat-Verteilung
Dichtefunktion
Verteilungsfunktion
Parameter	p – Dimension der Zufallsvariablen m – verknüpft mit der Stichprobengröße
Träger	$x\in (0,+\infty )\;$ if $p=1$ $x\in [0,+\infty )\;$ otherwise.