In der Topologie, einem Teilgebiet der Mathematik, ist der Sphärensatz ein grundlegender Lehrsatz aus der Theorie 3-dimensionaler Mannigfaltigkeiten. Er wurde 1957 von Christos Papakyriakopoulos bewiesen.

Ebenso wie der unter dem Namen Dehns Lemma bekannte Schleifensatz stellt er einen Zusammenhang zwischen der (in algebraischen Begriffen formulierbaren) Homotopietheorie und der geometrischen Topologie von 3-Mannigfaltigkeiten her; beide Sätze bilden die Grundlage für große Teile der Theorie der 3-Mannigfaltigkeiten.

Sphärensatz

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Wenn   eine orientierbare 3-Mannigfaltigkeit mit

 

ist, dann gibt es eine Einbettung

 

mit

 ,

wobei   die 2-Sphäre und   die zweite Homotopiegruppe von   ist. Allgemeiner, wenn eine echte Untergruppe   invariant unter der Wirkung von   auf   ist, dann gibt es eine Einbettung   mit  .

Bedeutung

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Die Bedeutung des Sphärensatzes liegt darin, dass er es erlaubt, homotopietheoretische Informationen „geometrisch“ (mittels eingebetteter Untermannigfaltigkeiten) umzusetzen. Elemente in   werden per definitionem durch stetige Abbildungen   repräsentiert; diese müssen aber im Allgemeinen keine Einbettungen sein. Der Sphärensatz besagt nun, dass es in orientierbaren 3-Mannigfaltigkeiten mit   immer eingebettete Sphären gibt, die nichttriviale Elemente von   repräsentieren. (Man beachte aber, dass sich auch unter den Bedingungen des Sphärensatzes nicht jedes Element von   durch eine eingebettete Sphäre repräsentieren lassen muss.)

Anwendungen

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Eine 3-Mannigfaltigkeit heißt irreduzibel, wenn in   jede eingebettete 2-Sphäre Rand eines eingebetteten 3-Balles ist. Irreduzible Mannigfaltigkeiten sind in der 3-dimensionalen Topologie von Bedeutung, weil sie (neben  -Bündeln über  ) die „Primfaktoren“ in der Zerlegung von 3-Mannigfaltigkeiten darstellen, wie sie etwa in der Formulierung des Geometrisierungssatzes verwendet wird.

Aus dem Sphärensatz lässt sich folgern:

Eine orientierbare 3-Mannigfaltigkeit ist genau dann irreduzibel, wenn   ist.

Als Konsequenz daraus ergibt sich, dass orientierbare, irreduzible 3-Mannigfaltigkeiten mit unendlicher Fundamentalgruppe immer asphärisch sein müssen.

Literatur

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