Das Zeta Amplitudinis ist auf folgende Weise als Ableitung[ 1] [ 2] Logarithmus Naturalis der Thetafunktion ϑ₀₁ definiert:
zn
(
u
;
k
)
=
Z
[
am
(
u
;
k
)
;
k
]
=
∂
∂
u
ln
{
ϑ
01
[
1
2
π
K
(
k
)
−
1
u
;
q
(
k
)
]
}
=
π
2
K
(
k
)
ϑ
01
′
[
1
2
π
K
(
k
)
−
1
u
;
q
(
k
)
]
ϑ
01
[
1
2
π
K
(
k
)
−
1
u
;
q
(
k
)
]
{\displaystyle {\text{zn}}(u;k)=\mathrm {Z} [{\text{am}}(u;k);k]={\frac {\partial }{\partial u}}\ln {\bigl \{}\vartheta _{01}{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\pi K(k)^{-1}u;q(k){\bigr ]}{\bigr \}}={\frac {\pi }{2K(k)}}{\frac {\vartheta '_{01}{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\pi K(k)^{-1}u;q(k){\bigr ]}}{\vartheta _{01}{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\pi K(k)^{-1}u;q(k){\bigr ]}}}}
Also ist die große Zetafunktion so definiert:
Z
(
t
;
k
)
=
zn
[
F
(
t
;
k
)
;
k
]
{\displaystyle \mathrm {Z} (t;k)={\text{zn}}[F(t;k);k]}
Dabei ist die genannte Thetafunktion nach Whittaker und Watson [ 3]
ϑ
01
(
x
;
y
)
=
∏
n
=
1
∞
(
1
−
y
2
n
)
[
1
−
2
cos
(
2
x
)
y
2
n
−
1
+
y
4
n
−
2
]
{\displaystyle \vartheta _{01}(x;y)=\prod _{n=1}^{\infty }(1-y^{2n})[1-2\cos(2x)y^{2n-1}+y^{4n-2}]}
Die Theta-Strich-Funktion ist die Ableitung der Thetafunktion bezüglich des linken Klammereintrags:
ϑ
01
′
(
x
;
y
)
=
∂
∂
x
ϑ
01
(
x
;
y
)
{\displaystyle \vartheta '_{01}(x;y)={\frac {\partial }{\partial x}}\vartheta _{01}(x;y)}
Der Buchstabe K nennt das vollständige elliptische Integral erster Art:
K
(
k
)
=
2
∫
0
1
1
(
x
2
+
1
)
2
−
4
k
2
x
2
d
x
{\displaystyle K(k)=2\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {(x^{2}+1)^{2}-4k^{2}x^{2}}}}\,\,\mathrm {d} x}
Die Bezeichnung q(k) stellt das elliptische Nomen dar:
q
(
k
)
=
exp
[
−
π
K
(
1
−
k
2
)
K
(
k
)
−
1
]
{\displaystyle q(k)=\exp[-\pi K({\sqrt {1-k^{2}}})K(k)^{-1}]}
Analog zur genannten Formel kann diese Zetafunktion auch mit dem Derivat ϑ₀₀ der klassischen Thetafunktion definiert werden:
zn
(
u
;
k
)
=
π
2
K
(
k
)
ϑ
00
′
[
1
2
π
K
(
k
)
−
1
u
;
q
(
k
)
]
ϑ
00
[
1
2
π
K
(
k
)
−
1
u
;
q
(
k
)
]
+
k
2
sn
(
u
;
k
)
cd
(
u
;
k
)
{\displaystyle {\text{zn}}(u;k)={\frac {\pi }{2K(k)}}{\frac {\vartheta '_{00}{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\pi K(k)^{-1}u;q(k){\bigr ]}}{\vartheta _{00}{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\pi K(k)^{-1}u;q(k){\bigr ]}}}+k^{2}{\text{sn}}(u;k){\text{cd}}(u;k)}
Für das Derivat der klassischen Thetafunktion gilt nach Whittaker und Watson:
ϑ
00
(
x
;
y
)
=
∏
n
=
1
∞
(
1
−
y
2
n
)
[
1
+
2
cos
(
2
x
)
y
2
n
−
1
+
y
4
n
−
2
]
{\displaystyle \vartheta _{00}(x;y)=\prod _{n=1}^{\infty }(1-y^{2n})[1+2\cos(2x)y^{2n-1}+y^{4n-2}]}
Analog zur zuvor genannten Bezeichnung ist dieser Zusammenhang gültig:
ϑ
00
′
(
x
;
y
)
=
∂
∂
x
ϑ
00
(
x
;
y
)
{\displaystyle \vartheta '_{00}(x;y)={\frac {\partial }{\partial x}}\vartheta _{00}(x;y)}
Im englischen Sprachraum etablierte sich für diese Funktion der Name "Elliptic Theta Prime" als offizielle Bezeichnung.
Wegen der Definition der Thetafunktion ϑ₀₁ als Produktreihe kann die Jacobische Zetafunktion auch als unendliche Summenreihe definiert werden.
Denn der Logarithmus aus dem Produkt ist gleich der Summe der Logarithmen:
zn
(
u
;
k
)
=
∂
∂
u
∑
n
=
1
∞
ln
⟨
[
1
−
q
(
k
)
2
n
]
{
1
−
2
cos
[
π
K
(
k
)
−
1
u
]
q
(
k
)
2
n
−
1
+
q
(
k
)
4
n
−
2
}
⟩
{\displaystyle {\text{zn}}(u;k)={\frac {\partial }{\partial u}}\sum _{n=1}^{\infty }\ln {\bigl \langle }{\bigl [}1-q(k)^{2n}{\bigr ]}{\bigl \{}1-2\cos[\pi K(k)^{-1}u]q(k)^{2n-1}+q(k)^{4n-2}{\bigr \}}{\bigr \rangle }}
zn
(
u
;
k
)
=
∑
n
=
1
∞
2
π
K
(
k
)
−
1
sin
[
π
K
(
k
)
−
1
u
]
q
(
k
)
2
n
−
1
1
−
2
cos
[
π
K
(
k
)
−
1
u
]
q
(
k
)
2
n
−
1
+
q
(
k
)
4
n
−
2
{\displaystyle {\text{zn}}(u;k)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2\pi K(k)^{-1}\sin[\pi K(k)^{-1}u]q(k)^{2n-1}}{1-2\cos[\pi K(k)^{-1}u]q(k)^{2n-1}+q(k)^{4n-2}}}}
zn
(
u
;
k
)
=
π
K
(
k
)
∑
n
=
1
∞
sin
[
π
K
(
k
)
−
1
u
]
cosh
[
(
2
n
−
1
)
π
K
(
1
−
k
2
)
K
(
k
)
−
1
]
−
cos
[
π
K
(
k
)
−
1
u
]
{\displaystyle {\text{zn}}(u;k)={\frac {\pi }{K(k)}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin[\pi K(k)^{-1}u]}{\cosh[(2n-1)\pi K({\sqrt {1-k^{2}}})K(k)^{-1}]-\cos[\pi K(k)^{-1}u]}}}
Bearbeiten
Mit dem Kürzel sn wird der Sinus Amplitudinis genannt:
sn
(
u
;
k
)
=
sin
[
am
(
u
;
k
)
]
{\displaystyle {\text{sn}}(u;k)=\sin[{\text{am}}(u;k)]}
Und das Kürzel cd steht für den Quotienten des Cosinus Amplitudinis dividiert durch das Delta Amplitudinis:
cd
(
u
;
k
)
=
sn
[
K
(
k
)
−
u
;
k
]
=
cos
[
am
(
u
;
k
)
]
1
−
k
2
sin
[
am
(
u
;
k
)
]
2
{\displaystyle {\text{cd}}(u;k)={\text{sn}}[K(k)-u;k]={\frac {\cos[{\text{am}}(u;k)]}{\sqrt {1-k^{2}\sin[{\text{am}}(u;k)]^{2}}}}}
Mit der Bezeichnung am wird die Jacobi-Amplitude zum Ausdruck gebracht:
am
(
u
;
k
)
=
∫
0
1
dn
(
u
v
;
k
)
u
d
v
{\displaystyle {\text{am}}(u;k)=\int _{0}^{1}{\text{dn}}(uv;k)u\,\,\mathrm {d} v}
Das Kürzel dn beschreibt das Delta Amplitudinis:
dn
(
u
;
k
)
=
1
−
k
2
4
ϑ
00
[
1
2
π
K
(
k
)
−
1
u
;
q
(
k
)
]
ϑ
01
[
1
2
π
K
(
k
)
−
1
u
;
q
(
k
)
]
−
1
{\displaystyle {\text{dn}}(u;k)={\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}\vartheta _{00}[{\tfrac {1}{2}}\pi K(k)^{-1}u;q(k)]\vartheta _{01}[{\tfrac {1}{2}}\pi K(k)^{-1}u;q(k)]^{-1}}
Darstellung mittels elliptischer Integrale
Bearbeiten
Die Ableitung der Jacobischen Zetafunktion ist als Kombination des Delta Amplitudinis und der vollständigen Elliptischen Integrale darstellbar:
∂
∂
u
zn
(
u
;
k
)
=
dn
(
u
;
k
)
2
−
E
(
k
)
K
(
k
)
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial u}}{\text{zn}}(u;k)={\text{dn}}(u;k)^{2}-{\frac {E(k)}{K(k)}}}
Die Jacobische Zetafunktion selbst ist die Ursprungsstammfunktion der nun genannten Funktion bezüglich u.
Somit kann sie mit Hilfe elliptischer Integrale durch die Jacobi-Amplitude definiert werden:
zn
(
u
;
k
)
=
E
[
am
(
u
;
k
)
;
k
]
−
E
(
k
)
K
(
k
)
u
{\displaystyle {\text{zn}}(u;k)=E[{\text{am}}(u;k);k]-{\frac {E(k)}{K(k)}}u}
Somit gilt für die große Jacobische Zetafunktion:
Z
(
u
;
k
)
=
E
(
u
;
k
)
−
E
(
k
)
K
(
k
)
F
(
u
;
k
)
{\displaystyle \mathrm {Z} (u;k)=E(u;k)-{\frac {E(k)}{K(k)}}F(u;k)}
Dabei ist E(x;k) ein unvollständiges elliptisches Integral zweiter Art und E(k) = E(π/2;k) ein vollständiges elliptisches Integral zweiter Art.[ 1]
Es gelten folgende Formeln:
E
(
x
;
k
)
=
∫
0
1
x
1
−
k
2
sin
(
x
y
)
2
d
y
{\displaystyle E(x;k)=\int _{0}^{1}x{\sqrt {1-k^{2}\sin(xy)^{2}}}\,\,\mathrm {d} y}
E
(
k
)
=
2
∫
0
1
(
x
2
+
1
)
2
−
4
k
2
x
2
(
x
2
+
1
)
2
d
x
{\displaystyle E(k)=2\int _{0}^{1}{\frac {\sqrt {(x^{2}+1)^{2}-4k^{2}x^{2}}}{(x^{2}+1)^{2}}}\,\,\mathrm {d} x}
Eng verwandt ist die Jacobische Zetafunktion mit der Jacobischen Epsilonfunktion. Denn die Epsilonfunktion ist so[ 4]
ε
(
u
;
k
)
=
E
[
am
(
u
;
k
)
;
k
]
{\displaystyle \varepsilon (u;k)=E[{\text{am}}(u;k);k]}
Somit gilt:
zn
(
u
;
k
)
=
ε
(
u
;
k
)
−
E
(
k
)
K
(
k
)
u
{\displaystyle {\text{zn}}(u;k)=\varepsilon (u;k)-{\frac {E(k)}{K(k)}}u}
Die Jacobische Epsilonfunktion hat dieses Additionstheorem:
ε
(
a
+
b
;
k
)
=
ε
(
a
;
k
)
+
ε
(
b
;
k
)
−
k
2
sn
(
a
;
k
)
sn
(
b
;
k
)
sn
(
a
+
b
;
k
)
{\displaystyle \varepsilon (a+b;k)=\varepsilon (a;k)+\varepsilon (b;k)-k^{2}{\text{sn}}(a;k){\text{sn}}(b;k){\text{sn}}(a+b;k)}
Das Additionstheorem vom Sinus Amplitudinis lautet wie folgt:
sn
(
a
+
b
;
k
)
=
sn
(
a
;
k
)
cd
(
b
;
k
)
+
cd
(
a
;
k
)
sn
(
b
;
k
)
1
+
k
2
sn
(
a
;
k
)
cd
(
a
;
k
)
sn
(
b
;
k
)
cd
(
b
;
k
)
{\displaystyle {\text{sn}}(a+b;k)={\frac {{\text{sn}}(a;k){\text{cd}}(b;k)+{\text{cd}}(a;k){\text{sn}}(b;k)}{1+k^{2}{\text{sn}}(a;k){\text{cd}}(a;k){\text{sn}}(b;k){\text{cd}}(b;k)}}}
Die Funktionen sn und cd vom selben Wertepaar stehen in jener Beziehung zueinander:
sn
(
u
;
k
)
2
+
cd
(
u
;
k
)
2
−
k
2
sn
(
u
;
k
)
2
cd
(
u
;
k
)
2
=
1
{\displaystyle {\text{sn}}(u;k)^{2}+{\text{cd}}(u;k)^{2}-k^{2}{\text{sn}}(u;k)^{2}{\text{cd}}(u;k)^{2}=1}
Basierend auf dem genannten Additionstheorem für die Jacobische Epsilonfunktion gilt somit auch folgende Beziehung:
ε
[
u
+
2
K
(
k
)
;
k
]
=
ε
(
u
;
k
)
+
2
E
(
k
)
{\displaystyle \varepsilon [u+2K(k);k]=\varepsilon (u;k)+2E(k)}
Analog zu diesem Additionstheorem gilt das Additionstheorem für die Jacobische Zetafunktion:
zn
(
a
+
b
;
k
)
=
zn
(
a
;
k
)
+
zn
(
b
;
k
)
−
k
2
sn
(
a
;
k
)
sn
(
b
;
k
)
sn
(
a
+
b
;
k
)
{\displaystyle {\text{zn}}(a+b;k)={\text{zn}}(a;k)+{\text{zn}}(b;k)-k^{2}{\text{sn}}(a;k){\text{sn}}(b;k){\text{sn}}(a+b;k)}
Dieses zuletzt genannte Additionstheorem ist auch im von Irene Stegun und Milton Abramowitz erstellten Werk Handbuch der mathematischen Funktionen [ 5]
zn
[
K
(
k
)
−
u
;
k
]
+
zn
(
u
;
k
)
=
k
2
sn
(
u
;
k
)
cd
(
u
;
k
)
{\displaystyle {\text{zn}}[K(k)-u;k]+{\text{zn}}(u;k)=k^{2}{\text{sn}}(u;k){\text{cd}}(u;k)}
Aus diesem Grund können auch die Jacobi-Funktionen sn, cn und dn mit der Zetafunktion zn definiert werden.
So kann bei der Jacobischen Zetafunktion die Modultransformation durchgeführt werden:
zn
(
u
;
k
)
=
(
1
+
1
−
k
2
)
zn
[
1
2
(
1
+
1
−
k
2
)
u
;
k
2
(
1
+
1
−
k
2
)
−
2
]
+
k
2
sd
(
1
2
u
;
k
)
cn
(
1
2
u
;
k
)
cn
(
u
;
k
)
{\displaystyle {\text{zn}}(u;k)=(1+{\sqrt {1-k^{2}}}){\text{zn}}[{\tfrac {1}{2}}(1+{\sqrt {1-k^{2}}})u;k^{2}(1+{\sqrt {1-k^{2}}})^{-2}]+k^{2}{\text{sd}}({\tfrac {1}{2}}u;k){\text{cn}}({\tfrac {1}{2}}u;k){\text{cn}}(u;k)}
Die Bezeichnung sd markiert den Quotienten Sinus Amplitudinis durch Delta Amplitudinis.
Beispielsweise gilt:
zn
(
u
;
1
2
2
)
=
1
2
2
(
2
+
1
)
zn
[
1
4
2
(
2
+
1
)
u
;
(
2
−
1
)
2
]
+
1
2
2
sl
(
1
4
2
u
)
cl
(
1
4
2
u
)
cl
(
1
2
2
u
)
{\displaystyle {\text{zn}}(u;{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}({\sqrt {2}}+1){\text{zn}}[{\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2}}({\sqrt {2}}+1)u;({\sqrt {2}}-1)^{2}]+{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\text{sl}}({\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2}}u){\text{cl}}({\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2}}u){\text{cl}}({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}u)}
Hierbei stellen sl und cl die Lemniskatischen Funktionen Sinus Lemniscatus und Cosinus Lemniscatus dar.
Durch zusätzliche Modultransformation kann die Formel so formuliert werden:
zn
(
u
;
k
)
=
(
1
+
1
−
k
2
)
zn
[
1
2
(
1
+
1
−
k
2
)
u
;
k
2
(
1
+
1
−
k
2
)
−
2
]
+
k
2
(
1
+
1
−
k
2
)
−
1
sn
[
1
2
(
1
+
1
−
k
2
)
u
;
k
2
(
1
+
1
−
k
2
)
−
2
]
cn
(
u
;
k
)
{\displaystyle {\text{zn}}(u;k)=(1+{\sqrt {1-k^{2}}}){\text{zn}}[{\tfrac {1}{2}}(1+{\sqrt {1-k^{2}}})u;k^{2}(1+{\sqrt {1-k^{2}}})^{-2}]+k^{2}(1+{\sqrt {1-k^{2}}})^{-1}{\text{sn}}[{\tfrac {1}{2}}(1+{\sqrt {1-k^{2}}})u;k^{2}(1+{\sqrt {1-k^{2}}})^{-2}]{\text{cn}}(u;k)}
Aus diesen Formeln für die Modultransformation folgen die für positive und negative rechte Klammereinträge gültigen Ableitungen der Thetafunktionen.
Diese partiellen Ableitungen nach dem linken Klammereintrag lauten wie folgt:
ϑ
01
′
(
v
;
w
)
=
∂
∂
v
ϑ
01
(
v
;
w
)
=
[
ϑ
00
(
w
)
2
+
ϑ
01
(
w
)
2
]
ϑ
01
(
v
;
w
)
zn
{
v
2
[
ϑ
00
(
w
)
2
+
ϑ
01
(
w
)
2
]
;
ϑ
00
(
w
)
2
−
ϑ
01
(
w
)
2
ϑ
00
(
w
)
2
+
ϑ
01
(
w
)
2
}
+
{\displaystyle \vartheta _{01}'(v;w)={\frac {\partial }{\partial v}}\vartheta _{01}(v;w)={\bigl [}\vartheta _{00}(w)^{2}+\vartheta _{01}(w)^{2}{\bigr ]}\vartheta _{01}(v;w){\text{zn}}{\biggl \{}{\frac {v}{2}}{\bigl [}\vartheta _{00}(w)^{2}+\vartheta _{01}(w)^{2}{\bigr ]};{\frac {\vartheta _{00}(w)^{2}-\vartheta _{01}(w)^{2}}{\vartheta _{00}(w)^{2}+\vartheta _{01}(w)^{2}}}{\biggr \}}+}
+
1
2
ϑ
00
(
w
)
ϑ
01
(
w
)
2
ϑ
01
(
1
4
π
;
w
)
2
ϑ
01
(
1
4
π
+
v
;
w
)
2
−
ϑ
01
(
1
4
π
−
v
;
w
)
2
ϑ
00
(
1
2
v
;
w
)
2
ϑ
01
(
1
2
v
;
w
)
2
{\displaystyle +{\frac {1}{2}}\vartheta _{00}(w)\vartheta _{01}(w)^{2}\vartheta _{01}({\tfrac {1}{4}}\pi ;w)^{2}{\frac {\vartheta _{01}({\tfrac {1}{4}}\pi +v;w)^{2}-\vartheta _{01}({\tfrac {1}{4}}\pi -v;w)^{2}}{\vartheta _{00}({\tfrac {1}{2}}v;w)^{2}\vartheta _{01}({\tfrac {1}{2}}v;w)^{2}}}}
ϑ
00
′
(
v
;
w
)
=
∂
∂
v
ϑ
00
(
v
;
w
)
=
[
ϑ
00
(
w
)
2
+
ϑ
01
(
w
)
2
]
ϑ
00
(
v
;
w
)
zn
{
v
2
[
ϑ
00
(
w
)
2
+
ϑ
01
(
w
)
2
]
;
ϑ
00
(
w
)
2
−
ϑ
01
(
w
)
2
ϑ
00
(
w
)
2
+
ϑ
01
(
w
)
2
}
−
{\displaystyle \vartheta _{00}'(v;w)={\frac {\partial }{\partial v}}\vartheta _{00}(v;w)={\bigl [}\vartheta _{00}(w)^{2}+\vartheta _{01}(w)^{2}{\bigr ]}\vartheta _{00}(v;w){\text{zn}}{\biggl \{}{\frac {v}{2}}{\bigl [}\vartheta _{00}(w)^{2}+\vartheta _{01}(w)^{2}{\bigr ]};{\frac {\vartheta _{00}(w)^{2}-\vartheta _{01}(w)^{2}}{\vartheta _{00}(w)^{2}+\vartheta _{01}(w)^{2}}}{\biggr \}}-}
−
1
2
ϑ
01
(
w
)
ϑ
00
(
w
)
2
ϑ
00
(
1
4
π
;
w
)
2
ϑ
00
(
1
4
π
−
v
;
w
)
2
−
ϑ
00
(
1
4
π
+
v
;
w
)
2
ϑ
00
(
1
2
v
;
w
)
2
ϑ
01
(
1
2
v
;
w
)
2
{\displaystyle -{\frac {1}{2}}\vartheta _{01}(w)\vartheta _{00}(w)^{2}\vartheta _{00}({\tfrac {1}{4}}\pi ;w)^{2}{\frac {\vartheta _{00}({\tfrac {1}{4}}\pi -v;w)^{2}-\vartheta _{00}({\tfrac {1}{4}}\pi +v;w)^{2}}{\vartheta _{00}({\tfrac {1}{2}}v;w)^{2}\vartheta _{01}({\tfrac {1}{2}}v;w)^{2}}}}
Wenn der elliptische Modul k den Wert 0 annimmt, dann ist die gesamte Funktion gleich Null.
Wenn der Modul den Wert 1 annimmt, dann ist die zn-Funktion gleich dem Tangens Hyperbolicus:
zn
(
u
;
1
)
=
tanh
(
u
)
{\displaystyle {\text{zn}}(u;1)=\tanh(u)}
Jedoch gilt:
lim
k
→
1
zn
[
K
(
k
)
−
u
;
k
]
=
0
≠
tanh
[
K
(
1
)
]
{\displaystyle \lim _{k\rightarrow 1}{\text{zn}}[K(k)-u;k]=0\neq \tanh[K(1)]}
Wenn der Modul den Wert 1/sqrt(2) annimmt, dann ist die zn-Funktion lemniskatisch beschaffen:
zn
(
u
;
1
2
2
)
=
E
[
am
(
u
;
1
2
2
)
;
1
2
2
]
−
1
2
(
π
ϖ
−
2
+
1
)
u
{\displaystyle {\text{zn}}(u;{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})=E[{\text{am}}(u;{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}});{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}]-{\tfrac {1}{2}}(\pi \varpi ^{-2}+1)u}
Denn für die Ableitung gilt:
d
d
u
zn
(
u
;
1
2
2
)
=
1
2
cl
(
1
2
2
u
)
2
−
1
2
π
ϖ
−
2
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} u}}{\text{zn}}(u;{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})={\tfrac {1}{2}}{\text{cl}}({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}u)^{2}-{\tfrac {1}{2}}\pi \varpi ^{-2}}
Mit dem Symbol ϖ wird die Lemniskatische Konstante dargestellt.
Christian Houzel Elliptische Funktionen und Abelsche Integrale , in Jean Dieudonné (Hrsg.) Geschichte der Mathematik 1700-1900 , Vieweg 1985, S. 462 (Kapitel 7.1.10)Leo Koenigsberger Zur Geschichte der Elliptischen Transcendenten in den Jahren 1826 bis 1829 , Teubner 1879, S. 78, gutenberg Sir Edmund Taylor Whittaker und Professor George Neville Watson: A Course in Modern Analysis . 4. Auflage. Cambridge, England, 1990. pp. 469 – 470
↑ a b Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), "Kapitel 16", Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables , New York: Dover, p. 578, ISBN 978-0486612720 , MR 0167642.
↑ Gradshteyn, I. S. and Ryzhik, I. M. Tables of Integrals, Series, and Products , 6th ed. San Diego, CA: Academic Press, 2000, p. xxxiv.
↑ Eric W. Weisstein: Jacobi Theta Functions. Abgerufen am 7. September 2021 (englisch). ↑ DLMF: 22.16 Related Functions. Abgerufen am 8. September 2021 . ↑ https://personal.math.ubc.ca/~cbm/aands/abramowitz_and_stegun.pdf 
![{\displaystyle {\text{zn}}(u;k)=\mathrm {Z} [{\text{am}}(u;k);k]={\frac {\partial }{\partial u}}\ln {\bigl \{}\vartheta _{01}{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\pi K(k)^{-1}u;q(k){\bigr ]}{\bigr \}}={\frac {\pi }{2K(k)}}{\frac {\vartheta '_{01}{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\pi K(k)^{-1}u;q(k){\bigr ]}}{\vartheta _{01}{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\pi K(k)^{-1}u;q(k){\bigr ]}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e061a74777ef2618f3137da40da1dede6c817d9d)
![{\displaystyle \mathrm {Z} (t;k)={\text{zn}}[F(t;k);k]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a55acdde135e3282b33de94b03bece29d512fe3)
![{\displaystyle \vartheta _{01}(x;y)=\prod _{n=1}^{\infty }(1-y^{2n})[1-2\cos(2x)y^{2n-1}+y^{4n-2}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4248e41592bc7ef203c97bcc6dd7f6bbef3eb1ca)
![{\displaystyle q(k)=\exp[-\pi K({\sqrt {1-k^{2}}})K(k)^{-1}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/943ebbf1e09e3324c38f46c396be2ce658e327fc)
![{\displaystyle {\text{zn}}(u;k)={\frac {\pi }{2K(k)}}{\frac {\vartheta '_{00}{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\pi K(k)^{-1}u;q(k){\bigr ]}}{\vartheta _{00}{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\pi K(k)^{-1}u;q(k){\bigr ]}}}+k^{2}{\text{sn}}(u;k){\text{cd}}(u;k)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/045a8b9fa9c4df733317e6229536f9d1b5abccb6)
![{\displaystyle \vartheta _{00}(x;y)=\prod _{n=1}^{\infty }(1-y^{2n})[1+2\cos(2x)y^{2n-1}+y^{4n-2}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31517b9d6574cf66118c97bdae43a14d730ad026)
![{\displaystyle {\text{zn}}(u;k)={\frac {\partial }{\partial u}}\sum _{n=1}^{\infty }\ln {\bigl \langle }{\bigl [}1-q(k)^{2n}{\bigr ]}{\bigl \{}1-2\cos[\pi K(k)^{-1}u]q(k)^{2n-1}+q(k)^{4n-2}{\bigr \}}{\bigr \rangle }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe557961b50f880522b184e87c0d6516cc958656)
![{\displaystyle {\text{zn}}(u;k)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2\pi K(k)^{-1}\sin[\pi K(k)^{-1}u]q(k)^{2n-1}}{1-2\cos[\pi K(k)^{-1}u]q(k)^{2n-1}+q(k)^{4n-2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eac2343fdf578668c11bc7862154f8c4db46c85d)
![{\displaystyle {\text{zn}}(u;k)={\frac {\pi }{K(k)}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin[\pi K(k)^{-1}u]}{\cosh[(2n-1)\pi K({\sqrt {1-k^{2}}})K(k)^{-1}]-\cos[\pi K(k)^{-1}u]}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0196986306733640bc771b0160c608a89e8399f)
![{\displaystyle {\text{sn}}(u;k)=\sin[{\text{am}}(u;k)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4488acece7817937ead17a6839fbd0f1ff35026)
![{\displaystyle {\text{cd}}(u;k)={\text{sn}}[K(k)-u;k]={\frac {\cos[{\text{am}}(u;k)]}{\sqrt {1-k^{2}\sin[{\text{am}}(u;k)]^{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56e2fee6202c33af9a90fb89850efa792201f28c)
![{\displaystyle {\text{dn}}(u;k)={\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}\vartheta _{00}[{\tfrac {1}{2}}\pi K(k)^{-1}u;q(k)]\vartheta _{01}[{\tfrac {1}{2}}\pi K(k)^{-1}u;q(k)]^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7687fe30524688b955ff9cf5767cb6a56d90af82)
![{\displaystyle {\text{zn}}(u;k)=E[{\text{am}}(u;k);k]-{\frac {E(k)}{K(k)}}u}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29a294d8145e7e7c573119f5a3caaf3008697735)
![{\displaystyle \varepsilon (u;k)=E[{\text{am}}(u;k);k]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d366a8b276b54665dde29a47cb401b8a857d5d57)
![{\displaystyle \varepsilon [u+2K(k);k]=\varepsilon (u;k)+2E(k)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00760be7722895e86c837b0393430937f5129103)
![{\displaystyle {\text{zn}}[K(k)-u;k]+{\text{zn}}(u;k)=k^{2}{\text{sn}}(u;k){\text{cd}}(u;k)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6097bc10a174cd501891247a89c76b63d5bb0dd0)
![{\displaystyle {\text{zn}}(u;k)=(1+{\sqrt {1-k^{2}}}){\text{zn}}[{\tfrac {1}{2}}(1+{\sqrt {1-k^{2}}})u;k^{2}(1+{\sqrt {1-k^{2}}})^{-2}]+k^{2}{\text{sd}}({\tfrac {1}{2}}u;k){\text{cn}}({\tfrac {1}{2}}u;k){\text{cn}}(u;k)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ac6f3fce17d8ac59c8c96628bd2ae4188ab72f8)
![{\displaystyle {\text{zn}}(u;{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}({\sqrt {2}}+1){\text{zn}}[{\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2}}({\sqrt {2}}+1)u;({\sqrt {2}}-1)^{2}]+{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\text{sl}}({\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2}}u){\text{cl}}({\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2}}u){\text{cl}}({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}u)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06fc45cb7e27253bc6717db6ae1f165aea7c4639)
![{\displaystyle {\text{zn}}(u;k)=(1+{\sqrt {1-k^{2}}}){\text{zn}}[{\tfrac {1}{2}}(1+{\sqrt {1-k^{2}}})u;k^{2}(1+{\sqrt {1-k^{2}}})^{-2}]+k^{2}(1+{\sqrt {1-k^{2}}})^{-1}{\text{sn}}[{\tfrac {1}{2}}(1+{\sqrt {1-k^{2}}})u;k^{2}(1+{\sqrt {1-k^{2}}})^{-2}]{\text{cn}}(u;k)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4310d77369c3abe7c52a92eb20af7cfe84e6c84b)
![{\displaystyle \vartheta _{01}'(v;w)={\frac {\partial }{\partial v}}\vartheta _{01}(v;w)={\bigl [}\vartheta _{00}(w)^{2}+\vartheta _{01}(w)^{2}{\bigr ]}\vartheta _{01}(v;w){\text{zn}}{\biggl \{}{\frac {v}{2}}{\bigl [}\vartheta _{00}(w)^{2}+\vartheta _{01}(w)^{2}{\bigr ]};{\frac {\vartheta _{00}(w)^{2}-\vartheta _{01}(w)^{2}}{\vartheta _{00}(w)^{2}+\vartheta _{01}(w)^{2}}}{\biggr \}}+}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/392995cfc1e8325eed2ca9c42c13c3c37f333da9)
![{\displaystyle \vartheta _{00}'(v;w)={\frac {\partial }{\partial v}}\vartheta _{00}(v;w)={\bigl [}\vartheta _{00}(w)^{2}+\vartheta _{01}(w)^{2}{\bigr ]}\vartheta _{00}(v;w){\text{zn}}{\biggl \{}{\frac {v}{2}}{\bigl [}\vartheta _{00}(w)^{2}+\vartheta _{01}(w)^{2}{\bigr ]};{\frac {\vartheta _{00}(w)^{2}-\vartheta _{01}(w)^{2}}{\vartheta _{00}(w)^{2}+\vartheta _{01}(w)^{2}}}{\biggr \}}-}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cf5d5fd69999f053b529203b0d683ac4b41d55d)
![{\displaystyle \lim _{k\rightarrow 1}{\text{zn}}[K(k)-u;k]=0\neq \tanh[K(1)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eff9011abc69d00aa6f46af534a085e0627e710a)
![{\displaystyle {\text{zn}}(u;{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})=E[{\text{am}}(u;{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}});{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}]-{\tfrac {1}{2}}(\pi \varpi ^{-2}+1)u}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/378d181241bc3fb1955e05ab04a578b2d9162d91)
