Äquivalenz (Kategorientheorie)

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Die Äquivalenz von Kategorien ist eine Beziehung, die im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie zwischen zwei Kategorien bestehen kann. Zwei äquivalente Kategorien haben dieselben kategoriellen Eigenschaften. Viele wichtige mathematische Theorien behaupten die Äquivalenz zweier Kategorien.

Definition

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Eine Äquivalenz zwischen zwei Kategorien   und   ist ein Funktor  , zu dem es einen weiteren Funktor   gibt, so dass   und  , wobei   und   die identischen Funktoren auf   bzw.   seien und   die natürliche Äquivalenz zwischen den Funktoren bezeichne.

Man nennt zwei Kategorien   und   äquivalent, wenn es eine Äquivalenz zwischen ihnen gibt, und schreibt in diesem Fall  .[1]

Wegen der Beziehungen   und   nennt man   und   auch quasi-invers zueinander.

Eigenschaften

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Da es keine Klasse aller Kategorien gibt, denn eine Kategorie, die keine Menge ist, kann nicht Element von irgendetwas sein, ist die oben definierte Äquivalenz streng genommen keine Äquivalenzrelation, denn sie ist nicht auf einer Klasse definiert. Die Äquivalenz erfüllt aber die Eigenschaften einer Äquivalenzrelation, das heißt:

  • Für jede Kategorie   gilt  , man hat sogar Gleichheit an Stelle der natürlichen Äquivalenzen.
  • Sind   und   Kategorien und ist   so ist auch  , denn offenbar ist   aus obiger Definition eine Äquivalenz  .
  • Sind  ,   und   Kategorien und ist   und  , so ist auch  . Das folgt aus der einfachen Eigenschaft, dass die Verkettung zweier Äquivalenzen wieder eine Äquivalenz ist.[2]

Diese Eigenschaften rechtfertigen den Namen Äquivalenz in obiger Definition.

Äquivalenzen können auch kontravariant sein, dann sind die Funktoren aus obiger Definition kontravariant. Eine kontravariante Äquivalenz zwischen   und   ist dasselbe wie eine (kovariante) Äquivalenz zwischen   und  , wobei   die zu   duale Kategorie sei.

Der Funktor   aus obiger Definition ist nicht eindeutig durch   bestimmt. Ist   ein weiterer Funktor, der dieselben Bedingungen wie   erfüllt, so lässt sich aber leicht zeigen, dass zwischen   und   eine natürliche Äquivalenz bestehen muss. Daher ist   bis auf natürliche Äquivalenz eindeutig bestimmt und man nennt   die Pseudo-Inverse zu  .[3]

Alle kategoriellen Konstruktionen übertragen sich mittels Äquivalenz von einer Kategorie zur anderen, denn solche Konstruktionen sind nur bis auf Isomorphie eindeutig. Als Beispiel betrachten wir eine Äquivalenz  , und zu zwei Objekten   aus   existiere das Produkt  . Dann existiert auch das Produkt   in   (und ist isomorph zu  ). Das rechnet man einfach nach. Auch kategorielle Morphismen-Eigenschaften wie Monomorphismus oder Epimorphismus bleiben erhalten, ebenso Anfangs- oder Endobjekte.

Beispiele

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  • Isomorphe Kategorien sind äquivalent, denn offenbar sind Isomorphismen Äquivalenzen.[4]
  • Es sei   die Kategorie der kompakten Hausdorffräume. Für jeden kompakten Hausdorffraum   sei   die kommutative C*-Algebra der stetigen Funktionen  . Indem man eine stetige Funktion   auf den C*-Algebren-Homomorphismus   schickt, erhält man einen kontravarianten Funktor von   in die Kategorie   der kommutativen C*-Algebren mit Einselement. Der erste Satzes von Gelfand-Neumark hat zum Inhalt, dass dieser Funktor   eine Äquivalenz ist, das heißt man hat  . Es liegt natürlich keine Isomorphie der Kategorien vor, da nicht jede kommutative C*-Algebra mit Einselement wirklich eine Algebra stetiger Funktionen auf einem kompakten Hausdorffraum ist, sondern eben nur bis auf Isomorphie.[4]
  • Sei   die Kategorie der booleschen Räume, das ist die volle Unterkategorie von  , die aus allen total unzusammenhängenden Räumen, kompakten Hausdorffräumen besteht. Für jedes solche   sei   die boolesche Algebra der offen-abgeschlossenen Teilmengen. Indem man eine stetige Funktion   auf die Urbildfunktion   schickt, erhält man einen kontravarianten Funktor von   in die Kategorie   der booleschen Algebren. Der stonesche Darstellungssatz für boolesche Algebren besagt, dass dieser Funktor   eine Äquivalenz ist, das heißt man hat  .[4]

Charakterisierung

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Für einen Funktor   sind folgende Aussagen äquivalent:[5]

  •   ist eine Äquivalenz.
  •   ist volltreu und dicht.

Die zweite Version hat den Vorteil, dass der Funktor   in Gegenrichtung nicht vorkommt. Der Beweis, dass aus der zweiten Bedingung die Äquivalenzeigenschaften folgen, verläuft unter Anwendung des Auswahlaxioms so, dass man zu jedem   aus   mittels der vorausgesetzten Dichtheitsbedingung ein   mit   wählt,   setzt,   mittels der Volltreue auch für Morphismen   aus   definiert, und dann die erforderlichen Eigenschaften nachrechnet. Die umgekehrte Beweisrichtung ist wesentlich einfacher und erfordert kein Auswahlaxiom.

Der folgende Satz charakterisiert, wann zwei Kategorien äquivalent sind. Dabei ergibt sich die Äquivalenz der ersten beiden Bedingungen offenbar aus oben genanntem Satz:

Für zwei Kategorien   und   sind folgende Aussagen äquivalent:[6]

  •  , das heißt   und   sind äquivalent.
  • Es gibt einen volltreuen, dichten Funktor  .
  • Je zwei Skelette aus   und   sind isomorph.
  • Es gibt ein Skelett aus  , das isomorph zu einem Skelett aus   ist.

Zusammenhang mit Adjunktionen

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Äquivalenzen sind Adjunktionen

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Liegt vermöge   und   eine Äquivalenz von Kategorien   und   wie in obiger Definition vor, so ist   offenbar sowohl linksadjungiert als auch rechtsadjungiert zu  . Einheit und Koeinheit dieser Adjunktion sind natürliche Isomorphismen zu den identischen Funktoren.

Fixpunkte einer Adjunktion

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Ist umgekehrt   eine Adjunktion zwischen Kategorien   und  , so gehören dazu die Einheit   und die Koeinheit  . Definiere die vollen Unterkategorien   und   durch

 
 .

Dann sind die Einschränkungen von   und   auf diese Unterkategorien Äquivalenzen und man hat

 .[7]

Beispiel

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Sei   die Kategorie der Vektorräume über einem festen Körper  , die Morphismen in dieser Kategorie sind die  -linearen Abbildungen. Der Dualraumfunktor

 ,

der jedem Vektorraum seinen Dualraum und jeder linearen Abbildung ihre duale Abbildung zuordnet, ist linksadjungiert zu seinem Gegenfunktor  . Die Einheit   ordnet jedem Vektorraum   seinen Bidualraum zu

 .

Die Fixpunkte der Adjunktion   sind bekanntlich genau die endlichdimensionalen Vektorräume, diese bilden die volle Unterkategorie   der endlichdimensionalen Vektorräume und man erhält, dass die Einschränkung von   eine Äquivalenz   vermittelt.[8]

Beschränkt man sich bei diesem Beispiel auf die Kategorie der unendlichdimensionalen Vektorräume, so hat man dieselbe eingeschränkte Adjunktion, denn Dualräume unendlichdimensionaler Räume sind wieder unendlichdimensional. An diesem Beispiel sieht man, dass die oben definierten Fixpunkt-Unterkategorien auch leer sein können.

Einzelnachweise

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  1. Martin Brandenburg: Einführung in die Kategorientheorie, Springer-Verlag 2016, ISBN 978-3-662-53520-2, Definition 3.6.1
  2. Martin Brandenburg: Einführung in die Kategorientheorie, Springer-Verlag 2016, ISBN 978-3-662-53520-2, Bemerkung 3.6.2
  3. Martin Brandenburg: Einführung in die Kategorientheorie, Springer-Verlag 2016, ISBN 978-3-662-53520-2, Bemerkung 3.6.4
  4. a b c Horst Herrlich, George E. Strecker: Category Theory, Allyn and Bacon Inc. 1973, Beispiele 14.16
  5. Martin Brandenburg: Einführung in die Kategorientheorie, Springer-Verlag 2016, ISBN 978-3-662-53520-2, Satz 3.6.7
  6. Horst Herrlich, George E. Strecker: Category Theory, Allyn and Bacon Inc. 1973, Theorem 14.11
  7. Martin Brandenburg: Einführung in die Kategorientheorie, Springer-Verlag 2016, ISBN 978-3-662-53520-2, Satz 7.5.2
  8. Martin Brandenburg: Einführung in die Kategorientheorie, Springer-Verlag 2016, ISBN 978-3-662-53520-2, Beispiel 7.5.3