Imaginärer Kugelkreis

Als imaginärer Kugelkreis, auch unendlich ferner oder uneigentlicher Kugelkreis oder absoluter Kegelschnitt oder Maßkegelschnitt genannt, wird in der projektiven Geometrie über $P^{3}(\mathbb {C} )$ der Kreis auf der unendlich fernen Ebene $E_{\infty }$ bezeichnet, der auf allen Kugeln liegt. Dieser Kreis ist den beiden Punkten in $P^{2}(\mathbb {C} )$ (den sogenannten Kreispunkten), die auf allen Kreisen liegen, analog. $P^{3}(\mathbb {C} )$ ist nichteuklidisch und, wenn man den Anschauungsraum $\mathbb {R} ^{3}$ als Teilmenge von $P^{3}(\mathbb {C} )$ auffasst, so sind dieser und $E_{\infty }$ disjunkt, weswegen sich der Kugelkreis der gewöhnlichen Anschauung entzieht.

Beschreibung

Sei $K$ eine Kugel in dem affinen Raum $\mathbb {C} ^{3}$ mit Mittelpunkt $(a,b,c)$ und Radius $r$. Diese Kugel wird durch die Gleichung

$K\colon \quad (x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=r^{2}$

beschrieben. Die Homogenisierung dieser Gleichung liefert als Gleichung über $P^{3}(\mathbb {C} )$

$K\colon \quad (x-aw)^{2}+(y-bw)^{2}+(z-cw)^{2}=r^{2}w^{2},$

wobei die Punkte nun durch homogene Koordinaten $(x,y,z,w)$ dargestellt werden. Da für $E_{\infty }$ die Identität $w=0$ gilt, folgt:

$K\cap E_{\infty }\colon \quad x^{2}+y^{2}+z^{2}=0\wedge w=0$

$K\cap E_{\infty }$ ist unabhängig vom Kugelmittelpunkt $(a,b,c)$ und vom Radius $r$, also liegt $K\cap E_{\infty }$ auf allen Kugeln. Durch Umstellen erhält man dann zum Beispiel $x^{2}+y^{2}=(\mathrm {i} z)^{2}$ als Gleichung für einen Kreis mit Radius $\mathrm {i} z$ ($\mathrm {i}$ ist die imaginäre Einheit), was zeigt, weshalb Felix Klein diese Kurve $K\cap E_{\infty }$ als imaginären Kreis bezeichnete. Man beachte, dass auch ein imaginärer Kreis mit Radius 0 aus mehr als einem Punkt besteht.

Umkehrung

Auch eine Umkehrung des Satzes, dass der Kugelkreis auf allen Kugeln liegt, gilt: Enthält eine Fläche zweiter Ordnung den Kugelkreis, so ist diese Fläche bereits eine Kugel, sofern sie nicht in zwei Ebenen entartet ist.

Quelle

• Felix Klein: Vorlesungen über nicht-euklidische Geometrie. Göttingen/Hannover 1928, Nachdruck Chelsea Publishing Company, New York, S. 135–137.