Linear independence constraint qualification

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Die Linear independence constraint qualification oder kurz LICQ ist eine wichtige Voraussetzung, dass notwendige Optimalitätskriterien in der nichtlinearen Optimierung gelten. Sie ist eine Bedingung an die Regularität eines zulässigen Punktes. Ist die LICQ in einem Punkt erfüllt und ist dieser Punkt ein lokales Minimum, so sind auch die Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen an diesem Punkt erfüllt.

Definition

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Gegeben ist ein Optimierungsproblem in der Form

 ,

wobei

 

die Restriktionsmenge ist und alle Funktionen stetig differenzierbar sein sollen. Es sei   die Menge der Indizes, bei denen die Ungleichungsrestriktionen mit Gleichheit erfüllt sind, d. h. die Ungleichungsrestriktion   ist aktiv. Dann erfüllt ein zulässiger Punkt   des restringierten Optimierungsproblems die LICQ, wenn die Gradienten   und   mit   linear unabhängig sind.

Beispiel

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Betrachten wir als Beispiel die Restriktionsfunktionen   und  . Wir untersuchen, ob der Punkt   die LICQ erfüllt. Es ist  , da beide Ungleichungen in   aktiv sind. Die Gradienten sind   und  . Beide Ungleichungsrestriktionen sind im untersuchten Punkt aktiv und die Gradienten sind linear unabhängig. Daher erfüllt der Punkt die LICQ.

MFCQ ohne LICQ

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Betrachtet man die Restriktionsfunktionen   und   und untersucht diese im Punkt  , so ist die LICQ nicht erfüllt. Die Gradienten   und   sind linear abhängig und beide Ungleichungen sind im untersuchten Punkt aktiv. Die MFCQ sind aber erfüllt, da für den Vektor   gilt, dass  .

Vergleich mit anderen constraint qualifications

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Gilt die LICQ, so ist auch die MFCQ und daher die Abadie CQ automatisch erfüllt. Die LICQ hat im Gegensatz zur MFCQ und zur Abadie CQ den Vorteil, dass sie leicht zu überprüfen ist. Ein Nachteil ist, dass sie nicht so allgemein gültig ist wie die anderen constraint qualifications. Dies wird durch das obige Beispiel illustriert. Es gelten die Implikationen

 .

Die Umkehrungen gelten aber nicht.

Literatur

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