Satz von Levi (Lie-Algebra)

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Der Satz von Levi, benannt nach Eugenio Elia Levi, ist ein Satz aus der Theorie der Lie-Algebren aus dem Jahre 1905,[1] der die Zerlegung einer endlichdimensionalen, reellen oder komplexen Lie-Algebra in eine semidirekte Summe aus einer halbeinfachen und einer auflösbaren Lie-Algebra zum Inhalt hat; diese nennt man auch die Levi-Zerlegung.

Begriffe

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Das mit   bezeichnete Radikal einer Lie-Algebra ist das größte in ihr enthaltene auflösbare Ideal. Der Quotient   nach dem Radikal hat kein Radikal, das heißt, das Radikal ist der Nullraum und ist definitionsgemäß halbeinfach.

Formulierung des Satzes

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Es sei   eine endlichdimensionale reelle oder komplexe Lie-Algebra. Dann gibt es eine halbeinfache Lie-Algebra   mit   (Vektorraumsumme).

Da   ein Ideal ist, handelt es sich sogar um eine semidirekte Summe   von Lie-Algebren.

Beweislinie

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Da   ein Ideal ist, erhält man eine kurze exakte Sequenz

 .

Die oben genannte Zerlegung in eine Vektorraumsumme ergibt sich sofort, wenn das Zerfallen dieser Sequenz gezeigt ist, das heißt die Existenz eines Lie-Algebren-Homomorphismus  , so dass   die identische Abbildung auf   ist.   leistet dann das Verlangte. Das ist genau der Inhalt des folgenden Satzes, der mit Hilfe des 2-ten Lemmas von Whitehead bewiesen werden kann:[2]

Es sei   eine endlichdimensionale reelle oder komplexe Lie-Algebra. Dann zerfällt die kurze exakte Sequenz

 .

Der Satz von Levi ist ein einfaches Korollar dieses Satzes.[3]

Levi-Komplement

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Eine halbeinfache Lie-Algebra   heißt Levi-Komplement, wenn die direkte Vektorraumsumme mit dem Radikal ganz   ergibt. Daher lässt sich der Satz von Levi auch kurz wie folgt formulieren:

Jede endlichdimensionale reelle oder komplexe Lie-Algebra hat ein Levi-Komplement.

Siehe auch

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Einzelnachweise

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  1. E. E. Levi: "Sulla struttura dei gruppi finiti e continui", Atti della Reale Accademia delle Scienze di Torino, Band XL: Seiten 551–565
  2. Joachim Hilgert, Karl-Hermann Neeb: Lie-Gruppen und Lie-Algebren, Vieweg, 1999, ISBN 3-528-06432-3, Satz II.4.7
  3. Joachim Hilgert, Karl-Hermann Neeb: Lie-Gruppen und Lie-Algebren, Vieweg, 1999, ISBN 3-528-06432-3, Korollar II.4.8