Lokale Grenzwertsätze

Als lokale Grenzwertsätze bezeichnet man gewisse mathematische Sätze, die zu den Grenzwertsätzen der Stochastik gezählt werden. Wie alle dieser Grenzwertsätze untersuchen die lokalen Grenzwertsätze Folgen und Summen von Zufallsvariablen. Im Gegensatz zu diesen verwenden sie aber nicht die klassischen Konvergenzbegriffe der Stochastik wie die Konvergenz in Verteilung, Konvergenz in Wahrscheinlichkeit oder fast sichere Konvergenz, sondern untersuchen die Konvergenz von Wahrscheinlichkeitsfunktionen und Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen.

Aufgabenstellung

Gegeben sei eine Folge von Zufallsvariablen $(X_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ mit Verteilungen $P_{n}$ und Wahrscheinlichkeitsfunktionen oder Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen $f_{n}$. Gesucht ist eine Wahrscheinlichkeits(dichte)funktion $f$ sowie Bedingungen, unter denen

$f_{n}$ gegen $f$ konvergiert.

Mögliche Probleme sind:

• Im Allgemeinen muss die Grenzfunktion selbst bei Konvergenz in Verteilung der $X_{n}$ keine Dichtefunktion besitzen.
• Selbst wenn die Zufallsvariablen in Verteilung gegen die Standardnormalverteilung konvergieren, müssen die Dichten im Allgemeinen nicht konvergieren.

Beispiel: Lokaler Grenzwertsatz von de Moivre-Laplace

Ein klassisches Beispiel ist der lokale Grenzwertsatz von de Moivre-Laplace. Ist $p\in (0,1)$, sei $\varphi$ die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Standardnormalverteilung und

$x_{n}(k)={\frac {k-np}{\sqrt {np(1-p)}}}$.

Dann ist für beliebige $c>0$

$\lim _{n\to \infty }\max _{\forall k \atop |x_{n}(k)|\leq c}\left|{\frac {{\sqrt {np(1-p)}}\operatorname {Bin} _{n,p}(\{k\})}{\varphi (x_{n}(k))}}-1\right|=0$.

Hierbei bezeichnet $\operatorname {Bin} _{n,p}$ eine Binomialverteilung mit den Parametern $n$ und $p$, so dass $\operatorname {Bin} _{n,p}(\{k\})$ der Wert der Wahrscheinlichkeitsfunktion an einer Stelle $k$ ist.

Weblinks

• V.V. Petrov: Local limit theorems. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org). 
• A.V. Prokhorov: Laplace theorem. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org). 

Literatur

• Hans-Otto Georgii: Stochastik. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 4. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 2009, ISBN 978-3-11-021526-7, doi:10.1515/9783110215274.