In der Mathematik sind hyperbolische Isometrien in der hyperbolischen Geometrie und allgemeiner in der Theorie der CAT(0)-Räume von Bedeutung.

Definition

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Es sei   ein vollständiger CAT(0)-Raum, zum Beispiel ein hyperbolischer Raum. Eine Isometrie

 

ist eine hyperbolische Isometrie, wenn sie keinen Fixpunkt hat, es aber eine unter   invariante Geodäte gibt.

Insbesondere hat eine hyperbolische Isometrie zwei Fixpunkte im Unendlichen.

Beispiel

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Sei   das Halbebenenmodell der hyperbolischen Ebene und   eine durch

 

mit   gegebene Abbildung. Man kann überprüfen, dass   eine Isometrie ist und die Geodäte durch   und   invariant lässt. Es ist also eine hyperbolische Isometrie.

Allgemeiner können Isometrien der hyperbolischen Ebene durch Matrizen   und Isometrien des 3-dimensionalen hyperbolischen Raumes durch Matrizen   beschrieben werden. Im Fall der hyperbolischen Ebene ist die durch eine Matrix   beschriebene Isometrie genau dann hyperbolisch, wenn für die Spur von   die Ungleichung

 

gilt. Im Fall   ist diese Bedingung hinreichend, aber nicht notwendig für eine hyperbolische Isometrie. Das obige Beispiel entspricht der Matrix  .

Äquivalente Charakterisierung

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Für eine Isometrie   sei   definiert durch

 .

Die Isometrie ist genau dann hyperbolisch, wenn es ein   mit

 

gibt und dieses Infimum positiv ist.

Die Menge

 

ist dann eine Vereinigung von invarianten Geodäten.

Loxodromische Isometrien

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Falls   der hyperbolische Raum mit   ist, dann werden die oben definierten hyperbolischen Isometrien auch als loxodromische Isometrien bezeichnet. Als hyperbolische Isometrien bezeichnet man dann nur diejenigen loxodromischen Isometrien, die als Transvektionen entlang einer invarianten Geodäten wirken, also keine Drehung um diese Geodäte bewirken.

Siehe auch

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Literatur

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  • Martin Bridson, André Haefliger: Metric spaces of non-positive curvature. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 319. Springer-Verlag, Berlin 1999, ISBN 3-540-64324-9.
  • Francis Bonahon: Low-dimensional geometry. From Euclidean surfaces to hyperbolic knots. Student Mathematical Library, 49. IAS/Park City Mathematical Subseries. American Mathematical Society, Providence, RI; Institute for Advanced Study (IAS), Princeton, NJ, 2009. ISBN 978-0-8218-4816-6
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