Die Markow-Ungleichungen – benannt nach den russischen Mathematikern Andrei und Wladimir Markow – geben eine obere Schranke für die Ableitung von Polynomen in dem abgeschlossenen reellen Intervall [−1,+1] an. Sie werden in der Approximationstheorie gebraucht. Gelegentlich werden diese Ungleichungen auch als Markow-brothers' Ungleichungen bezeichnet.

Grundform

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Andrei Markow veröffentlichte im Jahr 1889 folgende Ungleichung:[1]

Sei   ein Polynom vom Grad höchstens   und   seine erste Ableitung, dann gilt

 

Sie lässt sich mit Hilfe der Bernstein-Ungleichung aus der Analysis beweisen.[2]

Die Konstante   ist die bestmögliche. Wählt man nämlich für   das  -te Tschebyschow-Polynom, dann gilt Gleichheit:[3]

 

Verallgemeinerung

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1892 verallgemeinerte Andreis Bruder Vladimir Markov diese Ungleichung für höhere Ableitungen:[4]

Sei   ein Polynom vom Grad kleiner gleich   und   die  -te Ableitung, dann gilt

 

Für den Spezialfall   erhält man die erste Ungleichung. Werner Wolfgang Rogosinski fand 1955 einen einfacheren Beweis.[5]

In den 1940er und 1950er Jahren fanden Mathematiker weitere Verallgemeinerungen und auch Verschärfungen dieser Ungleichungen.[6] So verschärften Richard Duffin und Albert C. Schaeffer im Jahre 1961 die Grundform zu[7]

 

wobei   die Extremwerte der Tschebyschow-Polynome n-ten Grades   sind.

Literatur

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  • Elliot Ward Cheney: Introduction to Approximation Theory. McGraw-Hill Book Company, 1966, ISBN 0-07-010757-2, S. 90–91 und 228.

Einzelnachweise

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  1. Andrei Markow: Sur une question posée par Mendeleieff. Izvestia Akademii Nauk SSSR Vol. 62 (1889), S. 1–24.
  2. Elliot Ward Cheney: Introduction to Approximation Theory. 1966, S. 90–91.
  3. Elliot Ward Cheney: Introduction to Approximation Theory. 1966, S. 94, Problem 8.
  4. Vladimir Markov: On functions deviating the least from zero on a given interval. St. Petersburg 1892, - Über Polynome, die in einem gegebenen Intervalle möglichst wenig von Null abweichen. In: Mathematische Annalen. Vol. 77 (1916), S. 213–258. (PDF (Memento vom 8. Februar 2021 im Internet Archive))
  5. Werner Wolfgang Rogosinski: Some elementary inequalities for polynomials. In: Mathematical Gazette. Vol. 39 (1955), S. 7–12.
  6. Elliot Ward Cheney: Introduction to Approximation Theory. 1966, S. 228.
  7. Richard Duffin, Albert C. Schaeffer: A refinement of an inequality of the brothers Markoff. In: American Mathematical Society Transactions. (TAMS), Vol. 50 (1941), S. 517–528 (PDF)