Maximale Untergruppe

mathematisch-algebraischer Begriff

In der Gruppentheorie heißt eine Untergruppe einer gegebenen Gruppe maximal, wenn es keine echt zwischen und liegende Untergruppe gibt. Also die Untergruppe ist eine maximale Untergruppe von , wenn gilt und es keine echt größere Untergruppe mit gibt.

Existenz

Bearbeiten

Nicht alle Gruppen haben eine maximale Untergruppe. Die triviale Gruppe hat trivialerweise keine maximale Untergruppe. Die Prüfergruppe hat auch keine maximale Untergruppe, denn in dieser Gruppe ist jede echte Untergruppe in einer größeren echten Untergruppe enthalten.

Eigenschaften

Bearbeiten

Hat eine Gruppe nur eine einzige maximale Untergruppe, so ist sie invariant unter allen Automorphismen, d. h. eine charakteristische Untergruppe (und dadurch ein Normalteiler).

Eine maximale Untergruppe ist auch modular. Denn ist   maximal in   und   Untergruppen von   mit  , so ist entweder   oder   (weil   maximal ist). Im ersten Fall ist  . Im zweiten Fall ist  .

Maximale Untergruppen sind auch pronormal.

Frattinigruppe

Bearbeiten

Der Schnitt aller maximalen Untergruppen von G heißt die Frattinigruppe (Frattini-Untergruppe) von G.

Mathematics Subject Classification

Bearbeiten

In der MSC sind Untersuchungen der maximalen Untergruppen unter 20E28 Klassifiziert.

Literatur

Bearbeiten
  • Vipul Naik: Maximal subgroup. In: Groupprops. Abgerufen am 17. Mai 2014 (englisch).