Der Banach-Mazur-Abstand, benannt nach Stefan Banach und Stanisław Mazur, ist ein Begriff aus der mathematischen Theorie der Banachräume. Er definiert einen Abstand zwischen zwei isomorphen normierten Räumen und wird besonders für endlichdimensionale Räume verwendet.

Motivation und Definition

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Sind   und   zwei isomorphe normierte Räume, so gibt es eine bijektive, stetige, lineare Abbildung  , deren Umkehrung ebenfalls beschränkt ist. Für die Operatornorm gilt  . Daher ist

 

eine Zahl  , die misst, wie weit die Räume   und   davon entfernt sind, isometrisch isomorph zu sein. Diese Zahl nennt man den Banach-Mazur-Abstand zwischen   und  . Sind   und   nicht isomorph, so ist  .

Es gelten folgende einfache Regeln:

  1.  ; allgemeiner  , falls   und   isometrisch isomorph sind,
  2.   für normierte Räume   und  ,
  3.   für normierte Räume  ,   und  .

Daraus ergibt sich, dass sich   wie eine Metrik verhält, wobei   irgendeine Logarithmusfunktion ist, zum Beispiel der natürliche Logarithmus. Das erklärt den Namen Banach-Mazur-Abstand.

Bemerkungen

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Der Banach-Mazur-Abstand   hängt vom zugrundeliegenden Skalarkörper,   oder  , ab. Es gibt ein auf Jean Bourgain zurückgehendes Beispiel eines reellen Banachraums mit zwei komplexen Banachraum-Strukturen, die nicht isomorph sind.

Aus   folgt im Allgemeinen nicht, dass   und   isometrisch isomorph sind. Für das folgende auf Aleksander Pełczyński und Czesław Bessaga zurückgehende Beispiel seien für   folgende Normen auf c0 definiert:

 

Setzt man  , so kann man zeigen, dass   strikt konvex ist,   aber nicht; daher können   und   nicht isometrisch isomorph sein. Setzt man für  

 ,

so ist   ein Isomorphismus und es ist  , also gilt  .

So ein Beispiel muss notwendigerweise unendlichdimensional sein, denn für zwei endlichdimensionale Räume   und   kann man zeigen, dass   genau dann gilt, wenn   und   isometrisch isomorph sind.

Minkowski-Kompaktum

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Es sei   die Klasse aller n-dimensionalen Banachräume. Die isometrische Isomorphie ist eine mit   bezeichnete Äquivalenzrelation auf  . Man kann zeigen, dass der Banach-Mazur-Abstand eine Abbildung auf der Menge   induziert und dass   ein kompakter metrischer Raum ist, das sogenannte Minkowski-Kompaktum (nach Hermann Minkowski) oder auch Banach-Mazur-Kompaktum. Auch wenn   keine Metrik ist, sondern nur der Logarithmus von  , so werden metrische Begriffe im Zusammenhang mit dem Minkowski-Kompaktum häufig bezüglich   verwendet, das gilt insbesondere für die in diesem Absatz verwendeten Begriffe Abstand und Durchmesser.

Es bezeichne   den   mit der p-Norm. Dann zeigt man leicht   für alle  : Nach dem Auerbach-Lemma existiert eine Auerbachbasis   von  ; für  ,   gilt dann   und daher   und  , woraus   folgt.

Aufwändiger ist die 1948 von Fritz John gezeigte Ungleichung   für alle  . Daraus folgt sofort

  für alle  .

Daher ist der Durchmesser des Minkowski-Kompaktums höchstens  . E. D. Gluskin konnte zeigen, dass der Durchmesser nach unten durch eine Konstante mal   abgeschätzt werden kann. Es sind noch einige konkrete Abstände bekannt, so zum Beispiel

 , falls   oder  .

Für den Fall   kennt man folgende Abschätzung:

 .