Morse-Potential

Das Morse-Potential $V$ ist ein Begriff aus der Molekülphysik. Der 1929 vom US-amerikanischen Physiker Philip McCord Morse vorgeschlagene Zusammenhang beschreibt den Verlauf des elektronischen Potentials eines zweiatomigen Moleküls in Abhängigkeit vom Kern­bindungsabstand $R$ durch eine exponentielle Näherung:

Das Morse-Potential (blau) im Vergleich zum quadratischen Potential des harmonischen Oszillators (grün).
Eingezeichnet sind auch die Energiestufen, die beim Harmonischen Oszillator äquidistant sind ($\hbar \omega$), beim Morsepotential hingegen mit zunehmender Energie immer weniger Abstand haben, bis zur Bindungsenergie $D_{e}$, die größer als die tatsächlich benötigte Energie $D_{0}$ zur Flucht aus der Potentialmulde ist, da die Nullpunktenergie $\left(\nu =0\right)$ größer Null ist.

$V(R)=D_{\text{e}}\cdot \left(1-e^{-a\cdot (R-R_{\text{e}})}\right)^{2}$

mit

• $D_{\text{e}}$ die (spektroskopische) Dissoziationsenergie
• $R_{\text{e}}$ der Kernabstand mit der geringsten potentiellen Energie und
• $a$ eine Konstante (manchmal als „Steifigkeit des Potentials“ bezeichnet)

Diese Größen sind für das betrachtete Molekül charakteristisch.

Da man üblicherweise das Potential im Unendlichen als null definiert:

$V(\infty )=0$

wird das Morse-Potential häufig in der alternativen Form angegeben:

$V(R)-D_{\text{e}}=D_{\text{e}}\cdot \left(e^{-2a\cdot (R-R_{\text{e}})}-2e^{-a\cdot (R-R_{\text{e}})}\right)$

Dadurch verschiebt sich das Nullpunktpotential um $-D_{\text{e}}$. Diese Verschiebung ermöglicht die Definition eines cutoff-Radiuses, ab dem das Potential nicht mehr berücksichtigt wird.

Die Schrödinger-Gleichung ist mit dem Morsepotential analytisch lösbar. So können die Schwingungsenergien $E_{\nu }$ berechnet werden:

$E_{\nu }=h\omega _{0}\cdot \left(\nu +{\frac {1}{2}}\right)-{\frac {h^{2}\omega _{0}^{2}}{4D_{\text{e}}}}\cdot \left(\nu +{\frac {1}{2}}\right)^{2}$

mit

• dem planckschen Wirkungsquantum $\ h$
• der Schwingungsquantenzahl $\nu$
• der Frequenz $\omega _{0}$, die über die Teilchenmasse $m$ mit der Konstante $a$ des Morse-Potentials verknüpft ist

$\omega _{0}={\frac {a}{2\pi }}{\sqrt {\frac {2D_{\text{e}}}{m}}}$

Heutzutage wird für die Berechnung von Schwingungsenergien eher das RKR-Potential (RKR steht hierbei für Ragnar Rydberg, Oskar Klein und Lloyd Rees) oder das Lennard-Jones-Potential angewendet.

Literatur

• Wolfgang Demtröder: Molekülphysik: Theoretische Grundlagen und experimentelle Methoden. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, 2003, ISBN 978-3-486-24974-3, S. 93–94. 
• Ludwig Bergmann, Clemens Schaefer, Wilhelm Raith, Mit Beitragen Von H. Kleinpoppen, M. Fink, N. Risch: Bestandteile der Materie: Atome, Moleküle, Atomkerne, Elementarteilchen. Walter de Gruyter, 2003, ISBN 978-3-11-016800-6, S. 460–462. 
• Gerd Otter, Raimund Honecker: Atome – Moleküle – Kerne: Molekül- und Kernphysik. Vieweg +Teubner, 1996, ISBN 978-3-519-03220-5, S. 152–154.