Schlichtes Gebiet

Ein schlichtes Gebiet, Normalbereich oder Normalgebiet ist ein mathematisches Objekt aus der Analysis. Es handelt sich um ein für die Integralrechnung einfach zu handhabendes Gebiet.

Veranschaulichung eines Normalgebiets bzgl. x

Definition

Seien $g,h\in C([a,b])$ stetige Funktionen mit $g\leq h$. Dann heißt

$G=\lbrace (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\;|\;a\leq x\leq b,\;g(x)\leq y\leq h(x)\rbrace$

(mit reellen Zahlen $a<b$) ein Normalbereich bezüglich der $x$-Achse. Analog gilt das im $\mathbb {R} ^{n}$, indem jeweils jede Koordinate einmal in festen Grenzen betrachtet wird und alle anderen Koordinatengrenzen als Graph stetiger Funktionen.

Motivation

Das Integrieren einer stetigen Funktion $f\colon G\to \mathbb {R}$ über einem Normalgebiet $G$ lässt sich mit dem Satz von Fubini auf die Berechnung eindimensionaler Integrale zurückführen:

$\int _{G}f(x,y)\,\mathrm {d} (x,y)=\int _{a}^{b}\left(\int _{g(x)}^{h(x)}f(x,y)\,\mathrm {d} y\right)\mathrm {d} x$

Fläche

Für gewöhnlich ist eine der ersten Anwendungen der Integralrechnung in der Schule die Berechnung der Fläche eines schlichten Gebietes. Die Fläche des Gebietes $G=\lbrace (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\;|\;a<x<b,\;g(x)<y<h(x)\rbrace$ errechnet sich durch folgendes Integral:

$\int _{a}^{b}(h(x)-g(x))\,\mathrm {d} x$.

Kompliziertere Gebiete setzt man anschließend oft aus schlichten Gebieten zusammen.

Literatur

• Harro Heuser, Lehrbuch der Analysis Teil 2, Teubner, Stuttgart, 1992, ISBN 3-519-12232-4