Oktalsystem

Das Oktalsystem (von lateinisch octo ‚acht‘) ist ein Stellenwertsystem mit der Basis 8 (daher auch Achtersystem genannt). Es kennt acht Ziffern zur Darstellung einer Zahl: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 und 7.

Seine Ursprünge finden sich im 17. Jahrhundert in Schweden; als Urheber kommen König Karl XII., der Wissenschaftler Emanuel Swedenborg oder der Erfinder Christopher Polhem in Frage.

dezimal	dual	oktal	hexadezimal
0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F
16	10000	20	10
17	10001	21	11
18	10010	22	12
19	10011	23	13
20	10100	24	14
21	10101	25	15
22	10110	26	16
23	10111	27	17
24	11000	30	18
25	11001	31	19
26	11010	32	1A
27	11011	33	1B
28	11100	34	1C
29	11101	35	1D
30	11110	36	1E
31	11111	37	1F
32	100000	40	20
33	100001	41	21
34	100010	42	22
35	100011	43	23
36	100100	44	24
37	100101	45	25
38	100110	46	26
39	100111	47	27
40	101000	50	28
41	101001	51	29
42	101010	52	2A
43	101011	53	2B
44	101100	54	2C
45	101101	55	2D
46	101110	56	2E
47	101111	57	2F
48	110000	60	30
49	110001	61	31
50	110010	62	32
51	110011	63	33
52	110100	64	34
53	110101	65	35
54	110110	66	36
55	110111	67	37
56	111000	70	38
57	111001	71	39
58	111010	72	3A
59	111011	73	3B
60	111100	74	3C
61	111101	75	3D
62	111110	76	3E
63	111111	77	3F

Zählen im Oktalsystem

Beim Zählen im Oktalsystem ist zu beachten, dass der Übertrag schon nach der 7 erfolgt (es folgt die oktale 10) und nicht nach der 9 (es folgt die dezimale 10). Im Oktalsystem gilt: 7 + 1 = 10. Die Anwendung dieser Regel wird im Folgenden verdeutlicht:

0	1	2	3	4	5	6	7
10	11	12	13	14	15	16	17
20	21	22	23	24	25	26	27
...	...	...	...	...	...	...	...
70	71	72	73	74	75	76	77
100	...	...	...	...	...	...	107
110	...	...	...	...	...	...	117
...	...	...	...	...	...	...	...
770	...	...	...	...	...	...	777

Mündliche Zahlwortsysteme mit der Basiszahl 8 sind äußerst selten. Bekannt sind die Sprachen Mech und Yuki.^[1]

Anwendungen

Computertechnik

Jede Ziffer einer Oktalzahl kann durch drei Bit dargestellt werden. Umgekehrt kann aus einer Binärzahl durch Gruppierung von jeweils drei Bit leicht eine Oktalzahl erzeugt werden. Um beispielsweise die Oktalzahl 16 im Binärsystem darzustellen, müssen lediglich die einzelnen Oktalziffern 1 und 6 in Binärzahlen überführt werden:

oktal	1			6
binär	0	0	1	1	1	0

Oktalzahlen werden heute noch bei der Darstellung von Dateizugriffsrechten unter Unix verwendet, wo je drei Bit die Rechte einer Benutzerklasse darstellen (siehe chmod). Als noch Datenwörter von 24 Bit Länge gebräuchlich waren, deren Wertebereich genau dem einer achtstelligen Oktalzahl entsprach, wurden Oktalzahlen zur Eingabe und Ausgabe von Bitmustern verwendet, da sie für den Menschen übersichtlicher sind als Dualzahlen und weil die Umwandlung vom und ins Binärsystem einfach ist. Für die jetzt üblichen Datenwortlängen 16, 32 und 64 ist das Hexadezimalsystem für Eingabe und Ausgabe das geeignetere.

Ein historischer Anwendungsfall findet sich beim Apollo Guidance Computer. Hier werden für Daten und Adressen ebenfalls Oktalzahlen verwendet, vermutlich aufgrund der Wortbreite von 15 Bit. Somit kann ein Wort durch eine 5-stellige Oktalzahl dargestellt werden.

Luftfahrt

Der Transpondercode (Squawk) in jedem Flugzeug ist eine vierstellige Oktalzahl (0000 bis 7777).

Kennzeichnung

Oktalzahlen werden häufig durch einen nachgestellten Buchstaben o gekennzeichnet (auch bekannt als Intel-Konvention). In den Programmiersprachen C, Java und Python (Versionen bis 2.x) wird eine 0 vorangestellt, um eine Oktalzahl von einer Dezimalzahl zu unterscheiden (was zu schwer entdeckbaren Flüchtigkeitsfehlern führt: 0715 ist was anderes als 715). Python 3 verwendet zur besseren Unterscheidung die Ziffer 0 gefolgt vom Kleinbuchstabe o (z. B. 0o715). In TeX wird eine Oktalzahl durch ein vorangestelltes Hochkomma gekennzeichnet. Nach Motorola-Konvention werden Oktalzahlen hingegen mit einem vorangestellten @-Zeichen gekennzeichnet (z. B. @715). Unter DR-DOS unterstützt DEBUG Oktalzahlen in Verbindung mit dem Präfix \ (z. B. \715). Diese Darstellung kommt aus der Unix-Welt, wo sie von den gängigen Shells unterstützt wird.

In der Mathematik wird oft auch die Basis des Zahlensystems an die Zahl angefügt, z. B. 172₍₈₎ = 122₍₁₀₎.

Weitere Beispiele

172o oder 172₍₈₎ (Mathematik),
8#172# (Ada)
0172 (C, C++, Java und viele von C abgeleitete Sprachen),
'\172' bzw. "\172" (Zeichen- bzw. Zeichenkettenliteral in C/C++),
'172 (TeX).

Konvertierung von Zahlen in Oktalzahlen

Eine ganzzahlige positive Zahl kann in eine Oktalzahl umgewandelt werden, indem sie wiederholt durch die Basis 8 geteilt wird und die dabei entstehenden Divisionsreste notiert werden. Zum Beispiel werden für die 122₍₁₀₎ drei Rechenschritte benötigt:

122 : 8 = 15 Rest 2

15 : 8 = 1 Rest 7

1 : 8 = 0 Rest 1

Die Divisionsreste von unten nach oben gelesen ergeben diese Zahl in Oktaldarstellung 172₍₈₎.

Umwandlung von Oktalzahlen in Dezimalzahlen

Um eine (natürliche) Oktalzahl in eine Dezimalzahl umzuwandeln, muss man die einzelnen Ziffern mit der jeweiligen Potenz der Basis multiplizieren. Der Exponent der Basis entspricht der Stelle der Ziffer, wobei der am weitesten rechts stehenden Stelle die Null zugeordnet wird. Beispiel für 172₍₈₎ (wobei die Notation der Berechnung im Dezimalsystem erfolgt):

[172]_{8}=1\cdot 8^{2}+7\cdot 8^{1}+2\cdot 8^{0}=122_{10}

Die Anzahl der Multiplikationen kann durch die Verwendung des Horner-Schemas verringert werden:

[172]_{8}=(1\cdot 8+7)\cdot 8+2=122_{10}

Das gleiche wie die obigen Terme stellt diese Tabelle dar; man nimmt den Spaltennamen (z. B.) „8¹=8“ mit dem in der Zelle angegebenen Wert mal; wenn also in Zeile 1, Spalte „8¹=8“ eine 3 steht, so rechnet man „8¹×3“


Dezimalzahl	8²=64	8¹=8	8⁰=1	Endgültige Oktalzahl
5	0	0	5	5
16	0	2	0	20
86	1	2	6	126
123	1	7	3	173

Darstellung rationaler und reeller Zahlen

Wie bei allen Stellenwertsystemen lassen sich beliebige rationale oder reelle Zahlen im Oktalsystem darstellen. Als Trennzeichen zwischen dem ganzzahligen und dem gebrochenen Anteil der Zahl dient im deutschsprachigen Raum üblicherweise das Komma. Die Werte der Ziffern hinter dem Trennzeichen werden mit $8^{-i}$ multipliziert, wobei $i$ die Position hinter dem Komma angibt.

Beispiel für die Umwandlung von 34,56₍₈₎ ins Dezimalsystem (wobei die Notation der Berechnung im Dezimalsystem erfolgt):

3\cdot 8^{1}+4\cdot 8^{0}+5\cdot 8^{-1}+6\cdot 8^{-2}=28{,}71875_{(10)}

In der umgekehrten Richtung erfolgt die Umwandlung des gebrochenen Anteils einer Dezimalzahl in die Oktaldarstellung durch fortwährende Multiplikation mit 8, wobei jeweils der ganzzahlige Anteil des Ergebnisses eine Oktalziffer liefert. Zum Beispiel werden für die Dezimalzahl 0,3984375₍₁₀₎ drei Rechenschritte benötigt:

8 · 0,3984375 = 3,1875

8 · 0,1875 = 1,5

8 · 0,5 = 4,0

Die gesuchte Oktalzahl ist daher 0,314₍₈₎.

Natürlich kann es vorkommen, dass dieser Prozess nicht abbricht und sich daher eine unendliche Oktalbruchdarstellung ergibt. Auch eine periodische Darstellung ist möglich, wie das folgende Beispiel der Umwandlung von 0,2₍₁₀₎ zeigt:

8 · 0,2 = 1,6

8 · 0,6 = 4,8

8 · 0,8 = 6,4

8 · 0,4 = 3,2

8 · 0,2 = ...

Nun wiederholen sich die Zeilen, und die gesuchte Oktalzahl ist daher $0{,}14631463\ldots _{(8)}=0{,}{\overline {1463}}_{(8)}$ .

Jede rationale Zahl $r$ hat eine endliche oder unendliche periodische Oktalbruchentwicklung. Ist $r={\frac {p}{q}}$ , wobei $p$ eine ganze und $q$ eine natürliche Zahl ist, und ist dieser Bruch gekürzt (also $p$ und $q$ teilerfremd), dann hat $r$ genau dann eine endliche Oktalbruchentwicklung, wenn $q$ eine Zweierpotenz ist.

Wie bei Stellenwertsystemen üblich ist die Darstellung rationaler Zahlen nicht immer eindeutig; z. B. hat die Eins neben der Darstellung 1 auch die folgende als periodischer Oktalbruch:

1=0{,}777\ldots _{(8)}=0{,}{\overline {7}}_{(8)}

.

Trivia

Die außerirdischen Na’vi aus dem Film Avatar – Aufbruch nach Pandora verwenden das Oktalsystem, da sie über vier Finger an jeder Hand verfügen.
In der TV-Serie Stargate verwendeten die Antiker ebenfalls das Oktalsystem.

Einzelnachweise

↑ Gisa Eysen: „Untersuchungen zu Strukturen von Zahlwortsystemen.“ Verlag Dr. Kovač, Hamburg 2008, ISBN 978-3-8300-4062-0, S. 174.

Weblinks

Wiktionary: Oktalsystem – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Octomatics – ein oktalbasiertes Zahlensystem, welches einfaches, visuelles Rechnen ermöglicht
Umrechnung von Zahlensystemen – ein weiterer Umrechner, der den Rechenweg mit anzeigt

[1] Gisa Eysen: „Untersuchungen zu Strukturen von Zahlwortsystemen.“ Verlag Dr. Kovač, Hamburg 2008, ISBN 978-3-8300-4062-0, S. 174.

[1]

0	1	2	3	4	5	6	7
10	11	12	13	14	15	16	17
20	21	22	23	24	25	26	27
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