Ordnungsvollständigkeit
Ordnungsvollständigkeit ist ein Begriff aus der Algebra, speziell der Körpertheorie, der aber für beliebige geordnete Mengen definiert werden kann. Der Begriff der Ordnungsvollständigkeit erweist sich in der Ordnungstopologie für nicht zu „große“ geordnete Mengen als verwandt mit dem Begriff der Vollständigkeit in metrischen Räumen.
Definition
BearbeitenEine Ordnung auf heißt ordnungsvollständig, falls eine der folgenden äquivalenten Bedingungen gilt:
Zusammenhang zur metrischen Vollständigkeit
BearbeitenIst die Ordnungstopologie auf metrisierbar, dann ist die Ordnung genau dann ordnungsvollständig, wenn vollständig metrisierbar ist, d. h. wenn es eine Metrik auf gibt, die die Ordnungstopologie erzeugt und zu einem vollständigen metrischen Raum macht.
Ordnungsvollständige Körper
BearbeitenDer Begriff der Ordnungsvollständigkeit ist insbesondere in der Theorie der geordneten Körper von Bedeutung. Er ermöglicht die folgende Charakterisierung des Körpers der reellen Zahlen:
Literatur
Bearbeiten- Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis I. Springer, 3-te Auflage, 2006, ISBN 978-3-7643-7756-4, S. 98
- Hermann Schichl, Roland Steinbauer: Einführung in das mathematische Arbeiten. Springer, 2012, ISBN 978-3-642-28645-2, S. 316–320
- A. H. Lightstone: Linear Algebra. Appleton-Century-Crofts, 1969 S. 178-180
Weblinks
Bearbeiten- R: Verfürth: Analysis I. Skript, Ruhr-Universität Bochum, S. 35–42, insbesondere 42
- The Complete Ordered Field: The Real Numbers
- John J. O’Connor: Axioms for the Real numbers - Kapitel eines Analysis-Spripts der University of St Andrews
Einzelnachweise
Bearbeiten- ↑ K.-U. Bux: Analysis I, Satz 8.4
- ↑ D. Lenz: Analysis I, Kapitel 2.4