Zahlenpalindrom

Zahlenpalindrome bzw. Palindromzahlen sind natürliche Zahlen, deren Zahlensystemdarstellung von vorne und hinten gelesen den gleichen Wert hat, z. B. 1331 oder 742247, aber auch 21 zur Basis 2 (=10101). Manchmal wird auch die allgemeine Schreibweise a₁a₂a₃ ...|... a₃a₂a₁ für Zahlen mit der Basis $a$ verwendet.

Der Begriff Palindrom wurde in die Zahlentheorie, einem Teilbereich der Mathematik, aus der Sprachwissenschaft übernommen.

Palindrome im Dezimalsystem

Alle Zahlen des Dezimalsystems mit nur einer Ziffer sind Palindromzahlen.

Es gibt neun zweistellige Palindromzahlen:

{11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99}

Es gibt 90 dreistellige Palindromzahlen:

{101, 111, 121, 131, 141, 151, 161, 171, 181, 191,

202, 212, 222, 232, 242, 252, 262, 272, 282, 292,

303, 313, 323, 333, 343, 353, 363, 373, 383, 393,

404, 414, 424, 434, 444, 454, 464, 474, 484, 494,

505, 515, 525, 535, 545, 555, 565, 575, 585, 595,

606, 616, 626, 636, 646, 656, 666, 676, 686, 696,

707, 717, 727, 737, 747, 757, 767, 777, 787, 797,

808, 818, 828, 838, 848, 858, 868, 878, 888, 898,

909, 919, 929, 939, 949, 959, 969, 979, 989, 999}

sowie ebenfalls 90 vierstellige Palindromzahlen:

{1001, 1111, 1221, 1331, 1441, 1551, 1661, 1771, 1881, 1991,

2002, 2112, 2222, 2332, 2442, 2552, 2662, 2772, 2882, 2992,

3003, 3113, 3223, 3333, 3443, 3553, 3663, 3773, 3883, 3993,

4004, 4114, 4224, 4334, 4444, 4554, 4664, 4774, 4884, 4994,

5005, 5115, 5225, 5335, 5445, 5555, 5665, 5775, 5885, 5995,

6006, 6116, 6226, 6336, 6446, 6556, 6666, 6776, 6886, 6996,

7007, 7117, 7227, 7337, 7447, 7557, 7667, 7777, 7887, 7997,

8008, 8118, 8228, 8338, 8448, 8558, 8668, 8778, 8888, 8998,

9009, 9119, 9229, 9339, 9449, 9559, 9669, 9779, 9889, 9999}

Damit gibt es unter 10⁴ (also 10.000) genau 9 + 9 + 90 + 90 = 198 Zahlenpalindrome. Insgesamt gibt es 9 + 9 + 90 + 90 + 900 = 1098 Zahlenpalindrome, die kleiner sind als 10⁵ (also 100.000). Die Anzahl der Palindrome kleiner als 10ⁿ folgt dieser Zahlenreihe: 1998 (für n = 6), 10998 (für n = 7 usw.), 19998, 109998, 199998, 1099998, … (OEIS, A050250).

Des Weiteren hat jede ganze Zahl, die nicht durch 10 teilbar ist, ein positives Vielfaches, das ein Dezimalpalindrom ist, was in einer Aufgabe des Bundeswettbewerbs Mathematik 2009 zu beweisen war.

Aus den Teilbarkeitsregeln ergibt sich außerdem, dass alle Zahlenpalindrome mit gerader Stellenzahl durch 11 teilbar sind.

Erzeugung von Zahlenpalindromen

Quadrieren von 1-er Zahlen

Im Dezimalsystem erhält man durch

$([1]_{n})^{2}$

Palindromzahlen, wobei [1]_n die Kurzschreibweise für die n-fache Wiederholung der 1 ist und n von 1 bis 9 reicht.

1	*	1	=	1
11	*	11	=	121
111	*	111	=	12321
1111	*	1111	=	1234321
11111	*	11111	=	123454321
111111	*	111111	=	12345654321
1111111	*	1111111	=	1234567654321
11111111	*	11111111	=	123456787654321
111111111	*	111111111	=	12345678987654321

Umkehrung und Addition

Eine weitere Möglichkeit ist das iterative Schema, bei dem eine beliebige positive Zahl (die nicht selber schon ein Palindrom ist) bis zum Erreichen eines Palindroms durch folgenden Algorithmus gedreht wird:

1. Drehe die Zahl um (z. B. 84 zu 48), d. h. erstelle die Spiegelzahl
2. Addiere die umgedrehte Zahl zu ihrer Ausgangszahl (48 + 84 = 132)
3. Drehe die neu entstandene Zahl erneut um (132 zu 231)
4. Addiere erneut beide Zahlen (132 + 231 = 363)

Bei den meisten Zahlen entsteht nach einer bestimmten Anzahl an Rechenschritten ein Zahlenpalindrom. Allerdings existieren auch Zahlen, die sich dieser Transformation widersetzen und bei denen bisher keine Palindrombildung zu finden ist. Solche Zahlen nennt man Lychrel-Zahlen; die bekannteste Lychrel-Zahl ist 196. Man bezeichnet den obigen Algorithmus daher auch als 196-Algorithmus.

Palindrome bei Transformation des Zahlensystems

Zahlenpalindrome können auch bei der Transformation von Dezimalzahlen in ein anderes Zahlensystem entstehen.

Die folgende Tabelle listet alle Zahlenpalindrome auf (für Zahlen von 10 bis 10⁷), die sich bei der Transformation vom Dezimalsystem in das jeweilige Zahlensystem ergeben.

Basis	Dezimalzahl	Zahl in anderem Zahlensystem
4	13	31
7	23	32
	46	64
	2116	6112
	15.226	62.251
8 (oktal)	1.527.465	5.647.251
9	445	544
	313.725	527.313
	3.454.446	6.444.543
12 (duodezimal)	315.231	132.513
13	43	34
	86	68
	774	477
14	834	438
16 (hexadezimal)	53	35
	371	173
	5141	1415
	99.481	18.499
19	21	12
	42	24
	63	36
	84	48
	441	144
	882	288
	7721	1277
	9471	1749
21	551	155
	912	219
22	73	37
	511	115
25	83	38
28	31	13
	62	26
	93	39
	961	169
37	41	14
	82	28
46	51	15
55	61	16
64	71	17
73	81	18
82	91	19

Summe von Zahlenpalindromen

In einem Aufsatz von 2018 wurde gezeigt, dass jede positive ganze Zahl als Summe von drei Zahlenpalindromen geschrieben werden kann, unabhängig vom verwendeten Zahlensystem mit der Basis 5 oder größer.

Zahlen und Zahlwörter

Joel David Hamkins bemerkt in seinen „Vorlesungen über die Philosophie der Mathematik“ (engl. Lectures on the Philosophy of Mathematics), dass palindrome Zahlen im Gegensatz zu Dreiecks- oder Rechteckszahlen keine Eigenschaften von Zahlen, sondern Zahlwörtern beschreiben. Einige Mathematiker, so Hamkins, halten daher das Konzept für unnatürlich oder laienhaft. So ist beispielsweise die Zahl 27 im Dezimalsystem kein Palindrom, in Binärform 11011 aber schon, in römischer Zahlschrift XXVII wieder nicht. Die Frage, ob eine Zahl ein Palindrom ist, hängt von der Basis ab, in der sie dargestellt wird. Jede Zahl ist in einer Basis ein Palindrom, da sie dann zu einer einzigen Ziffer, sprich einem Palindrom würde.

Siehe auch

• Zyklische Zahl
• Mirpzahl
• Primzahlpalindrom
• Palindromtag

Literatur

• Malcolm E. Lines: A Number for Your Thoughts: Facts and Speculations about Number from Euclid to the latest Computers. CRC Press, 1986, ISBN 0-85274-495-1, S. 61 (eingeschränkt (Google Books))

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Zahlenpalindrom. In: MathWorld (englisch).
• Palindromzahlen in adischen Zahlensystemen
• Zahlen-Palindrome (interaktiv)
• Zahlen-Palindrome
• Eine nette Spielerei mit der Eins (Memento vom 21. Februar 2005 im Internet Archive)
• James Grime (Numberphile): Every Number is the Sum of Three Palindromes auf YouTube, 17. September 2018 (englisch).
• sciencenotes.de: Das Rätsel um die 196: Wie lässt sich etwas beweisen, das vielleicht nicht existiert?