Der Separationsansatz dient der Lösung partieller Differentialgleichungen mit mehreren Variablen. Der Produktansatz ist ein Spezialfall.

Allgemeines

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Man nimmt an, dass sich die Lösung durch eine Trennungsfunktion   auf folgende Weise trennen lässt

 

wobei   und   geeignete Funktionen sind.

Produktansatz

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Beim Produktansatz wählt man als Trennungsfunktion  , so dass sich die Lösung als ein Produkt der Form

 

darstellen lässt. Durch Ableiten und Einsetzen der separierten Funktionen   und   in die Ausgangsfunktion erhält man einen Ausdruck

 

Diese Gleichung lässt sich in zwei gewöhnliche Differentialgleichungen überführen, die mit Hilfe der Randbedingungen lösbar sind. Die gefundene Lösung muss nicht die einzige Lösung der Ausgangsfunktion sein.

Beispiel

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Zu lösen sei die eindimensionale Wellengleichung

 .

die beispielsweise Longitudinalwellen in einem elastischen Stab beschreibt. Der Separationsansatz mit  :

 

führt auf

 

Nun folgt die „Separation der Variablen“ mit Division durch   mit der Annahme   im Inneren der Fläche.

 

Vereinfachung der Notation   und   ergibt

 

Die Gleichung kann nur erfüllt sein, wenn beide Seiten der Gleichung konstant sind, da sie von verschiedenen Variablen abhängen. Also

 

Dies führt auf die folgenden gewöhnlichen Differentialgleichungen zweiter Ordnung

 
 

Die nun lösbar sind in Abhängigkeit vom Parameter   und den Randbedingungen, das Einsetzen der einzelnen Lösungen in   ergibt die Lösung der partiellen Differentialgleichung.

Literatur

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