Verallgemeinerte inverse Verteilungsfunktion

mathematische Funktion
(Weitergeleitet von Quantiltransformation)

Die (verallgemeinerte) inverse Verteilungsfunktion,[1] oder Quantilfunktion[2] ist eine spezielle reelle Funktion in der Stochastik, einem Teilgebiet der Mathematik. Jeder Verteilungsfunktion kann eine verallgemeinerte inverse Verteilungsfunktion zugeordnet werden, die unter gewissen Bedingungen die inverse Funktion der Verteilungsfunktion ist. Die verallgemeinerte inverse Verteilungsfunktion ordnet jeder Zahl zwischen null und eins den kleinsten Wert zu, an dem die Verteilungsfunktion diese Zahl überschreitet.

Inverse Verteilungsfunktion der Normalverteilung

Beschreibt beispielsweise eine Wahrscheinlichkeitsverteilung die Schuhgrößen der Europäer und ist die entsprechende Verteilungsfunktion gegeben, so gibt die zugehörige verallgemeinerte inverse Verteilungsfunktion an der Stelle diejenige kleinste Schuhgröße an, so dass mehr als 90 % der Europäer eine Schuhgröße kleiner als tragen.

Die verallgemeinerte inverse Verteilungsfunktion wird unter anderem zur Bestimmung von Quantilen herangezogen. Ebenso liefert sie einen Ansatz, zur Konstruktion von Zufallsvariablen mit vorgegebener Verteilungsfunktion. Dieser Ansatz heißt Quantiltransformation[3]. Auf diesem beruht auch die Inversionsmethode zur Erzeugung von Zufallszahlen mit vorgegebener Verteilung aus Standardzufallszahlen.

Definition

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Sei   eine reelle Zufallsvariable und

 

ihre Verteilungsfunktion. Das heißt für   gilt

  1.   ist monoton wachsend und rechtsseitig stetig.
  2. Für das Grenzwertverhalten gilt   und  .

Quantile und Quantilfunktion

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Jedes   mit

 

heißt  -Quantil von   oder von  .

Die Stelle

 

heißt oberes  -Quantil.

Die Stelle

 

heißt unteres  -Quantil.

Eine Funktion  , wobei   für alle   ein  -Quantil von   ist, heißt Quantilfunktion von   oder von  .

Linke verallgemeinerte inverse Verteilungsfunktion oder untere Quantilfunktion

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Die Funktion

 

definiert durch

 

heißt die linke verallgemeinerte inverse Verteilungsfunktion[1] oder die untere Quantilfunktion von  . Alternative Bezeichnungen für linke verallgemeinerte Inverse einer Verteilungsfunktion sind auch Quasiinverse oder Pseudoinverse, je nach Literatur.

Rechte verallgemeinerte inverse Verteilungsfunktion oder obere Quantilfunktion

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Die Funktion

 

definiert durch

 

heißt die rechte verallgemeinerte inverse Verteilungsfunktion oder die obere Quantilfunktion von  .

Eigenschaften

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  • Es gilt
 
  • Die Menge aller  -Quantile der Verteilung von   ist das Intervall  .
  • Wenn die Verteilungsfunktion   streng monoton ist, gilt
 
so dass die untere und die obere Quantilfunktion zusammenfallen.
  • Wenn die Verteilungsfunktion   invertierbar ist, dann ist   die Umkehrfunktion von  .
  • Die linke verallgemeinerte inverse Verteilungsfunktion (untere Quantilfunktion) ist linksseitig stetig und die rechte verallgemeinerte inverse Verteilungsfunktion (obere Quantilfunktion) ist rechtsseitig stetig.[4]

Bemerkungen zur Definition

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Wenn nur von der verallgemeinerten inversen Verteilungsfunktion oder der Quantilfunktion die Rede ist, dann ist die linke verallgemeinerte inverse Verteilungsfunktion bzw. die untere Quantilfunktion gemeint.

Die Notation der verallgemeinerten inversen Verteilungsfunktion als   ist suggestiv zu verstehen, da die Verteilungsfunktion   nicht immer invertierbar sein muss. Dies tritt zum Beispiel dann auf, wenn sie auf einem Intervall konstant ist. Ist   jedoch invertierbar, so stimmen die Inverse der Verteilungsfunktion und die verallgemeinerte inverse Verteilungsfunktion überein. Da die verallgemeinerte inverse Verteilungsfunktion im Gegensatz zur Inversen immer existiert rechtfertigt dies die Benennung als „verallgemeinert“.

Erläuterung

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Nach der Definition ist der Funktionswert der verallgemeinerten inversen Verteilungsfunktion an der Stelle   die kleinste Zahl, an der die Verteilungsfunktion den Funktionswert   überschreitet.

Ist die Verteilungsfunktion stetig, so erhält man diesen Wert anschaulich auf die folgende Art und Weise: Man zeichnet eine zur x-achse parallele Gerade, welche um den Wert   nach oben verschoben ist. Diese schneidet die Verteilungsfunktion in einem Punkt oder einem Intervall. Schneidet sie die Verteilungsfunktion in einem Punkt  , so ist   der Funktionswert der verallgemeinerten inversen Verteilungsfunktion an der Stelle  . Schneidet die Gerade die Verteilungsfunktion in einem Intervall, so wählt man denjenigen Punkt aus dem Intervall aus, der die kleinste  -Koordinate besitzt.

Beispiel

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Betrachte als Beispiel die Verteilungsfunktion der Exponentialverteilung. Sie ist gegeben durch

 

wobei   ein echt positiver reeller Parameter ist. Sie ist auf   streng monoton wachsend und bildet dieses Intervall bijektiv auf   ab. Somit existiert eine eindeutige Umkehrfunktion  , welche sich durch Auflösen von

 

nach   ergibt. Dies liefert die verallgemeinerte inverse Verteilungsfunktion

 .

Im Allgemeinen ist es selten möglich, die verallgemeinerte inverse Verteilungsfunktion wie hier direkt zu berechnen. So sind die wenigsten Verteilungsfunktionen invertierbar, da sie häufig konstante Bereiche aufweisen. Beispiel hierfür sind die Verteilungsfunktionen von diskreten Verteilungen. Ebenso muss selbst bei Invertierbarkeit keine geschlossene Darstellung der Verteilungsfunktion existieren, auf die man zurückgreifen könnte. So muss die Verteilungsfunktion der Normalverteilung stets numerisch berechnet werden.

Verwendung

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Konstruktion von Zufallsvariablen vorgegebener Verteilung (Quantiltransformation)

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Zufallsvariablen werden als messbare Abbildungen zwischen Messräumen eingeführt. Ist auf dem Grundraum noch ein Wahrscheinlichkeitsmaß definiert, so kann ihre Verteilung definiert werden. Im Laufe der weiteren Abstraktion werden aber der Grundraum und zugehöriges Wahrscheinlichkeitsmaß immer unwichtiger im Gegensatz zur Verteilung der Zufallsvariable. Effektiv lässt sich zeigen, dass zu jeder Zufallsvariable mit einer vorgegebenen Verteilung ein passender Grundraum mit Wahrscheinlichkeitsmaß ergänzen lässt. Die verallgemeinerte inverse Verteilungsfunktion liefert für reelle Verteilungen solch ein Argument: Jede reellwertige Zufallsvariable mit vorgegebener Verteilung kann als Zufallsvariable auf dem Intervall von null bis eins, versehen mit der stetigen Gleichverteilung, aufgefasst werden.[5] Somit kann die Untersuchung von Zufallsvariablen und ihren Verteilungen von dem zugrunde liegenden Wahrscheinlichkeitsraum losgelöst werden.

Die verallgemeinerte inverse Verteilungsfunktion ist monoton wachsend, linksseitig stetig und damit eine Zufallsvariable bzw. messbar von   nach  . Versieht man den Messraum   mit der stetigen Gleichverteilung   oder äquivalent dem Lebesgue-Maß, so gilt:

Die Verteilung von   unter   ist das Wahrscheinlichkeitsmaß auf  , welches die Verteilungsfunktion   besitzt.

Jedes Wahrscheinlichkeitsmaß   auf   mit Verteilungsfunktion   kann damit als Verteilung der Zufallsvariable

 

aufgefasst werden.

Konstruktion stochastisch unabhängiger Zufallsvariablen

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Die obige Konstruktion wird teils auch verwendet, um die Existenz reellwertiger unabhängiger Zufallsvariablen zu zeigen. Dabei wird zuerst über ein Approximationsargument die Existenz von stochastisch unabhängigen, auf dem Intervall   unabhängigen Zufallsvariablen gezeigt. Die Verkettung dieser Zufallsvariablen mit vorgegebenen verallgemeinerten inversen Verteilungsfunktionen sind dann reellwertige Zufallsvariablen mit vorgegebener Verteilung und wieder stochastisch unabhängig.[6]

Bestimmung von Quantilen

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Ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung   (oder eine Zufallsvariable   mit Verteilung  ) gegeben, so liefert die zugehörige verallgemeinerte inverse Verteilungsfunktion  , ausgewertet an der Stelle  , stets ein  -Quantil. Dies folgt direkt aus der Definition.

Definition von Risikomaßen

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Verschiedene Risikomaße, die im Finanzsektor eingesetzt werden, basieren auf Quantilfunktionen. Dabei sind die Zusammenhänge zwischen den Quantilfunktionen der Zufallsvariablen   und   von besonderem Interesse. Es gilt

 

und

 

Wenn   eine Verlustvariable ist, die für eine finanzielle Position den zufälligen Gewinn oder Verlust so angibt, dass Verluste durch positive Zahlen und Gewinne durch negative Zahlen dargestellt werden, dann ist der Value at Risk zum Sicherheitsniveau   durch das untere  -Quantil der Verlustvariablen   definiert,

 

Wird stattdessen als Zufallsvariable die zugehörige Gewinnvariable   betrachtet, bei der Verluste durch negative und Gewinne durch positive Zahlen angegeben werden, so ist

 

Die Value at Risk-Maßzahl ist bei Berechnung aus der Gewinnvariablen   das mit dem negativen Vorzeichen versehene obere  -Quantil der Gewinnvariablen.

Literatur

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Einzelnachweise

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  1. a b Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. 2014, S. 113.
  2. Eric W. Weisstein: Quantile Function. In: MathWorld (englisch).
  3. Georgii: Stochastik. 2009, S. 23.
  4. Hans Föllmer, Alexander Schied: Stochastic Finance. Lemma A.19, S. 538.
  5. Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, S. 43, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.
  6. Georgii: Stochastik. 2009, S. 72–73.