IP-Menge

Mathematischer Begriff
(Weitergeleitet von Satz von Hindman)

In der Mathematik bezeichnet der Begriff IP-Menge eine Menge natürlicher Zahlen, die alle endlichen Summen einer unendlichen Menge von natürlichen Zahlen enthält. Die Bezeichnung IP-Menge (IP-set) geht auf Hillel Fürstenberg und Barak Weiss zurück; IP steht dabei für „Infinite-dimensional Parallelepiped“.

Definition

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Die endlichen Summen einer Menge   von natürlichen Zahlen sind die Zahlen, die sich als Summe der Elemente einer nichtleeren endlichen Teilmenge von   darstellen lassen. Die Menge aller endlichen Summen von   wird auch als   bezeichnet; dabei steht FS für Finite Sums.

Eine Menge   von natürlichen Zahlen ist eine IP-Menge, falls eine unendliche Menge   existiert, so dass   in   enthalten ist.

Manchmal wird auch eine leicht abweichende Definition verwendet: man verlangt dann, dass sogar   für ein passendes   ist.

Der Satz von Hindman

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Der Satz von Hindman, oder auch das Finite Sums Theorem, lautet wie folgt:

Ist   eine IP-Menge und  , so ist wenigstens eine der Mengen   eine IP-Menge.

Da die Menge der natürlichen Zahlen selbst auch eine IP-Menge ist und man Partitionen auch als Färbungen auffassen kann, lässt sich folgender Spezialfall des Satzes von Hindman formulieren:

Sind die natürlichen Zahlen mit   Farben gefärbt, so gibt es für mindestens eine Farbe   eine unendliche Menge  , so dass alle Elemente von   und sogar alle endlichen Summen von   die Farbe   haben.

Halbgruppen

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Die IP-Eigenschaft kann man nicht nur für die natürlichen Zahlen, die mit der Addition eine Halbgruppe bilden, definieren, sondern auch ganz allgemein für Halbgruppen und partielle Halbgruppen.

  • V. Bergelson, I. J. H. Knutson, R. McCutcheon: Simultaneous diophantine approximation and VIP Systems (PDF; 127 kB) Acta Arith. 116, Academia Scientiarum Polona, (2005), 13–23
  • V. Bergelson: Minimal Idempotents and Ergodic Ramsey Theory (PDF; 349 kB) Topics in Dynamics and Ergodic Theory 8-39, London Math. Soc. Lecture Note Series 310, Cambridge Univ. Press, Cambridge, (2003)
  • H. Fürstenberg, B. Weiss: Topological Dynamics and Combinatorial Number Theory, J. d'Analyse Math. 34 (1978), 61–85
  • J. McLeod: Some Notions of Size in Partial Semigroups Topology Proceedings, Vol. 25 (2000), 317–332