Fortsetzungssatz von Tietze

mathematischer Satz
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Der Fortsetzungssatz von Tietze (englisch Tietze(’s) extension theorem[1][2][3]), auch als Erweiterungssatz von Tietze[4] oder als Satz von Tietze-Urysohn[5] genannt, ist ein Satz aus dem mathematischen Teilgebiet der Topologie. Er setzt normale topologische Räume mit stetigen Fortsetzungen in Beziehung. Veröffentlicht wurde der Satz im Jahr 1915 von Heinrich Tietze.

Der Satz ist eine Verallgemeinerung des Urysohnschen Lemmas und kann in vielen Fällen angewendet werden, da alle metrischen Räume und alle kompakten Hausdorff-Räume normal sind.

Fortsetzungssatz von Tietze

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Ein topologischer Raum   ist genau dann ein normaler Raum, wenn zu jeder auf einer abgeschlossenen Teilmenge   von   definierten, stetigen Funktion

 

eine stetige Funktion

 

existiert mit  , d. h.   für alle  . Die Funktion   wird als stetige Fortsetzung von   bezeichnet.

Dies ist ein reiner Existenzsatz. Bis auf wenige Ausnahmen ist eine solche stetige Fortsetzung nicht eindeutig, d. h., es kann zu gegebener Funktion   mehr als eine Funktion   mit der gesuchten Eigenschaft geben.

Stärkere Fassung

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Der Fortsetzungssatz von Tietze lässt sich in noch stärkerer Fassung formulieren:[5]

Ein topologischer Raum   ist dann und nur dann ein normaler Raum, wenn zu jeder beliebigen stetigen Abbildung der Form   mit einem abgeschlossenen   und einem aus Intervallen von   bestehenden Produktraum   stets eine stetige Fortsetzung   existiert.

Für die Anwendungen des Satzes ist insbesondere der Fall   bedeutsam.

Beispiel

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In metrischen Räumen   kann eine Fortsetzung explizit angegeben werden: Es seien   abgeschlossen und   nichtnegativ. Dann ist

 

eine stetige Fortsetzung von   auf ganz  .

Siehe auch

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Literatur

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Einzelnachweise

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  1. Kelley: General topology. 1975, S. 176.
  2. Patty: Foundations of Topology. 1993, S. 176.
  3. Jameson: Topology and normed spaces. 1974, S. 113.
  4. Rinow: Lehrbuch der Topologie. 1975, S. 170.
  5. a b Schubert: Topologie. 1975, S. 83.