Scheitelpunkt

Scheitelpunkte, kurz Scheitel, sind in der Geometrie besondere Punkte auf Kurven.

Die Scheitelpunkte eines Kegelschnitts (Ellipse, Parabel oder Hyperbel) sind die Schnittpunkte der Kurve mit den Symmetrieachsen. Sie sind gleichzeitig die Punkte, an denen die Krümmung maximal oder minimal ist.

Der Scheitelpunkt einer aufrecht stehenden Parabel, die Funktionsgraph einer quadratischen Funktion ist, ist Hochpunkt oder Tiefpunkt des Graphen. Durch die Lage des Scheitelpunkts und den Streckfaktor ist der Graph einer quadratischen Funktion eindeutig bestimmt. Die rechnerische Bestimmung des Scheitelpunkts ist somit ein wichtiges Hilfsmittel, um den Graph einer quadratischen Funktion zu zeichnen.

Allgemeiner bezeichnet man in der Differentialgeometrie einen Punkt auf einer regulären Kurve als Scheitel oder Scheitelpunkt, wenn die Krümmung dort ein lokales Extremum (also ein lokales Maximum oder Minimum) besitzt. Der Vierscheitelsatz macht eine Aussage über die Existenz und die Anzahl von Scheitelpunkten bei einfach geschlossenen glatten ebenen Kurven.

Scheitelpunkt eines Kegelschnitts

Die Scheitelpunkte eines Kegelschnitts sind die Schnittpunkte einer solchen Kurve mit deren Symmetrieachsen. Die Ellipse hat vier Scheitel, zwei Hauptscheitel und zwei Nebenscheitel, bei der Hyperbel treten zwei auf, bei der Parabel nur einer, der Kreis hat keinen expliziten Scheitelpunkt.

Scheitelpunkt einer Parabel

Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel. Ihr Scheitelpunkt ist identisch mit dem Hochpunkt (lokales Maximum), wenn sie nach unten geöffnet ist, und identisch mit dem Tiefpunkt (lokales Minimum), wenn sie nach oben geöffnet ist.

Wenn die Lage des Scheitelpunktes bekannt ist, kann die Parabel, soweit es sich um eine Normalparabel handelt, mit Hilfe einer Parabelschablone schnell in ein Koordinatensystem gezeichnet werden. Man kann die Parabelschablone auch zum Zeichnen von Parabeln verwenden, die keine Normalparabeln sind, wenn man das Koordinatensystem entsprechend skaliert.

Scheitelpunktform

Unter der Scheitelform oder Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion

$f(x)\,=ax^{2}+bx+c{\text{ mit }}a\neq 0$

versteht man eine bestimmte Form dieser Gleichung, aus welcher man den Scheitelpunkt der Funktion direkt ablesen kann.

Sie lautet

$f(x)=a(x-d)^{2}+e$

mit dem Scheitelpunkt $S(d|e)$.

Folglich kann die Funktion $f(x)=ax^{2}+bx+c{\text{ mit }}a\neq 0$ in die Form

$f(x)=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {4ac-b^{2}}{4a}}$

überführt werden.

Der Scheitelpunkt lautet dann

$S\left(-{\frac {b}{2a}}\ {\Bigg |}\ c-{\frac {b^{2}}{4a}}\right).$

In der Schule wird diese Formel aufgrund ihrer Größe meistens nicht gelehrt. Stattdessen wird die quadratische Ergänzung gelehrt, mit deren Hilfe man eine quadratische Funktion von der Polynomform in die Scheitelpunktform überführt.

Herleitung mittels Verschiebung

Die Normalparabel $y=x^{2}$ hat ihren Scheitel im Koordinatenursprung. Eine Streckung in y-Richtung mit dem Streckungsfaktor $a$ (Parabelgleichung $y=ax^{2}$) ändert daran nichts. Wird diese Parabel jetzt in x-Richtung um $d$ Einheiten und in y-Richtung um $e$ Einheiten verschoben, so dass ihr Scheitel die Koordinaten $S(d,e)$ besitzt, kann das mittels folgender Transformation dargestellt werden:

$(y-e)=a(x-d)^{2}$.

Durch Ausmultiplizieren erhält man:

$y-e=a(x^{2}-2dx+d^{2})=ax^{2}-2adx+ad^{2}$ und daraus $y=ax^{2}-2adx+ad^{2}+e$.

Vergleich mit der Standardfunktionsgleichung $f(x)=ax^{2}+bx+c$ liefert:

$b=-2ad$ und $c=ad^{2}+e$.

Dies kann umgeformt werden zu

$d={\frac {b}{-2a}}$ bzw. $e=c-ad^{2}=c-a\left({\frac {b}{-2a}}\right)^{2}=c-{\frac {ab^{2}}{4a^{2}}}=c-{\frac {b^{2}}{4a}}$.

Herleitung mittels quadratischer Ergänzung

Die obige Formel kann mithilfe der quadratischen Ergänzung hergeleitet werden. Die allgemeine Form wird in die Scheitelpunktform umgeformt.

${\begin{aligned}f(x)&=ax^{2}+bx+c\\&=a\left(x^{2}+{\frac {b}{a}}x\right)+c\\&=a\left(\underbrace {x^{2}+2\,{\frac {b}{2a}}x+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}} -\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}\right)+c\\&=a\left(\qquad \left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}\quad -\quad \left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}\right)+c\\&=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-a{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}+c\\&=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {4ac-b^{2}}{4a}}\end{aligned}}$

Daraus können die Koordinaten des Scheitelpunktes direkt abgelesen werden: $d=-{\frac {b}{2a}},\quad e={\frac {4ac-b^{2}}{4a}}=c-{\frac {b^{2}}{4a}}$.

Herleitung mittels Ableitung

Da die Steigung im Scheitelpunkt gleich 0 ist, ist es möglich mit Hilfe der ersten Ableitung die obige Formel herzuleiten.

${\begin{aligned}f(x)&=ax^{2}+bx+c\\f'(x)&=2ax+b\\f'(d)&=0\\0&=2ad+b\Rightarrow d=-{\frac {b}{2a}}\end{aligned}}$

Einsetzen in die Normalform:

${\begin{aligned}e&=ad^{2}+bd+c\\&=a\left(-{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+b\left(-{\frac {b}{2a}}\right)+c\\&={\frac {b^{2}}{4a}}-{\frac {2b^{2}}{4a}}+c\\&={\frac {b^{2}-2b^{2}}{4a}}+c\\&=c-{\frac {b^{2}}{4a}}\end{aligned}}$

Herleitung aus gegebenen Nullstellen oder anderen symmetrischen Stellen

Bei gegebenen Nullstellen $x_{1}$und $x_{2}$ liegt die x-Koordinate des Scheitelpunktes $x_{S}$ aus Symmetriegründen stets in deren Mitte:

$x_{S}={\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}$

Die y-Koordinate des Scheitelpunktes $y_{S}$ lässt sich durch Einsetzen von $x_{S}$ die Funktionsgleichung bestimmen. Diese Vorgehensweise funktioniert bei allen Stellen, die achsensymmetrisch bezüglich des Scheitelpunktes liegen. Zu jeder gegebenen Funktion $f$ kann eine vereinfachte Hilfsfunktion $g$ gebildet und genutzt werden:

$f(x)\,=ax^{2}+bx+c{\text{ mit }}a\neq 0\Longrightarrow$ $g(x)\,=ax^{2}+bx=x(ax+b){\text{ mit }}a\neq 0;c=0$

Die Nullstellen von $g$ sind nach dem Satz vom Nullprodukt gegeben mit

$x_{1}=0$ und $x_{2}=-b/a$

Die x-Koordinate des Scheitelpunktes ist somit

$x_{S}={\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}=-{\frac {b}{2a}}$

Durch Einsetzen in $f$ wird $y_{S}$ bestimmt:

$f\left(-{\frac {b}{2a}}\right)=a\left(-{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+b\left(-{\frac {b}{2a}}\right)+c={\frac {ab^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {b^{2}}{2a}}-c={\frac {b^{2}}{4a}}-{\frac {b^{2}}{2a}}+c={\frac {b^{2}}{4a}}-{\frac {2b^{2}}{4a}}+c=-{\frac {b^{2}}{4a}}+c=c-{\frac {b^{2}}{4a}}=y_{S}$

So ist der Scheitelpunkt bestimmt mit

$S\left(-{\frac {b}{2a}}\ {\Bigg |}\ c-{\frac {b^{2}}{4a}}\right)$

Beispiele

Diagramm zu Beispiel 1

Beispiel 1

$f(x)=x^{2}-6x+4$

hat den Scheitelpunkt

$S\left(-{\frac {-6}{2}}\ {\Bigg |}{\frac {4\cdot 4-(-6)^{2}}{4}}\right)$, also $S(3|-5).$

Beispiel 2

$f(x)=-x^{2}+3x+4$

Mit $a=-1$, $b=3$ und $c=4$ berechnet sich der Scheitelpunkt zu

$S\left(-{\frac {3}{2\cdot (-1)}}\ {\Bigg |}\ {\frac {4\cdot (-1)\cdot 4-3^{2}}{4\cdot (-1)}}\right)$, also $S\left({\frac {3}{2}}\ {\Bigg |}\ {\frac {25}{4}}\right).$

Bestimmung der Nullstellen aus der Scheitelpunktform

Aus der Scheitelpunktform lassen sich sehr einfach die Nullstellen der jeweiligen quadratischen Funktion bestimmen.

Substituiert man $-{\frac {b}{2a}}$ mit $d$ und ${\frac {4ac-b^{2}}{4a}}$ mit $e$, ergibt sich die Form $f(x)=a(x-d)^{2}+e$ mit dem Scheitelpunkt $S(d|e)$.

Bestimmung der Nullstellen:

${\begin{aligned}f(x)&=0\\[1ex]a(x-d)^{2}+e&=0\\[1ex]a(x-d)^{2}&=-e\\[1ex](x-d)^{2}&=-{\frac {e}{a}}\\[1ex]x-d&=\pm {\sqrt {-{\frac {e}{a}}}}\\[1ex]x&=d\pm {\sqrt {-{\frac {e}{a}}}}\end{aligned}}$

Ersetzt man $d$ und $e$ wieder durch $-{\frac {b}{2a}}$ und ${\frac {4ac-b^{2}}{4a}}$, ergibt sich die a-b-c-Formel:

$x=-{\frac {b}{2a}}\pm {\sqrt {-{\frac {\frac {4ac-b^{2}}{4a}}{a}}}}=-{\frac {b}{2a}}\pm {\sqrt {\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}}=-{\frac {b}{2a}}\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$