Gleichung von Tatuzawa-Iseki

Die Gleichung von Tatuzawa-Iseki (englisch Tatuzawa-Iseki identity) ist eine Identität aus dem mathematischen Teilgebiet der Analytischen Zahlentheorie, die auf eine wissenschaftliche Arbeit der beiden Mathematiker Tikao Tatuzawa und Kanesiro Iseki aus dem Jahre 1951 zurückgeht. Die Gleichung erlaubt einen Zugang zu einem elementaren Beweis des Primzahlsatzes.^[1]^{[A 1]}

Formulierung der Gleichung

Die Gleichung lässt sich darstellen wie folgt:^[2]

Gegeben sei das unbeschränkte reelle Intervall $I:=[1,\infty )\subset \mathbb {R}$ und darauf eine reellwertige oder komplexwertige Funktion $g\colon I\to \mathbb {K}$ (mit $\mathbb {K} =\mathbb {R}$ oder $\mathbb {K} =\mathbb {C}$ ).

Dazu werde die Funktion $G\colon I\to \mathbb {K}$ mit $G(x)=\sum _{n\leq x}{g\left({\frac {x}{n}}\right)}$ für reelles $x\geq 1$ gebildet.^{[A 2]}

Weiter seien – wie üblich – $\Lambda$ die Von Mangoldt-Funktion, $\psi$ die tschebyscheffsche Psi-Funktion , $\mu$ die Möbius-Funktion und $\ln$ der natürliche Logarithmus.

Dann gilt für $x\geq 1$ stets die Gleichung

\sum _{n\leq x}{\mu (n)\cdot \ln \left({\frac {x}{n}}\right)\cdot G\left({\frac {x}{n}}\right)}=g(x)\cdot \ln(x)+\sum _{n\leq x}{\Lambda (n)\cdot g\left({\frac {x}{n}}\right)}

Selbergsche Formel

Aus der obigen Gleichung ergibt sich ein übersichtlicher Beweis der sogenannten selbergschen Formel (englisch Selberg’s formula oder Selberg’s identity)^{[A 3]}, die von ihrem Urheber, dem norwegischen Mathematiker Atle Selberg, im Jahre 1948 gefunden und im Jahre 1949 veröffentlicht wurde. Von dieser Formel, welche Grundlage der meisten elementaren Beweise des Primzahlsatzes^{[A 4]} ist, gibt es eine größere Anzahl von gleichwertigen Versionen, von denen eine sich folgendermaßen angeben lässt:^[2]

Es sei – wie üblich – mit $\psi$ die tschebyscheffsche Psi-Funktion bezeichnet. Dann gilt für reelles $x\geq 1$ – unter Anwendung der O-Notation – stets die Gleichung

\psi (x)\cdot \ln(x)+\sum _{n\leq x}{\Lambda (n)\cdot \psi \left({\frac {x}{n}}\right)}=2x\cdot \ln(x)+O(x)

Mit Hilfe dieser Formel (und unter Zuhilfenahme äquivalenter Versionen) lässt sich dann zeigen, dass

\lim _{x\to \infty }\left({\frac {\psi (x)}{x}}\right)=1

und damit der Primzahlsatz gilt.^[3]^[4]^[5]

Weitere Versionen der selbergschen Formel

Bezeichnet man – wie üblich – mit $\vartheta$ die tschebyscheffsche Theta-Funktion und ist eine reelle Zahl $x\geq 1$ gegeben, so sind mit der obigen Version der selbergschen Formel – nicht zuletzt! – auch die folgenden gleichwertig:^[6]^[7]^[8]

(1)

\vartheta (x)\cdot \ln(x)+\sum _{p\leq x}{\ln(p)\cdot \vartheta \left({\frac {x}{p}}\right)}=2x\cdot \ln(x)+O(x)

(2)

\sum _{p\leq x}{{\ln }^{2}(p)}+\sum _{pq\leq x}{\ln(p)\cdot \ln(q)}=2x\cdot \ln(x)+O(x)

^{[A 5]}

(3)

\sum _{p\leq x}{\ln(p)}+\sum _{pq\leq x}{\frac {\ln(p)\cdot \ln(q)}{\ln(pq)}}=2x+O\left({\frac {x}{1+\ln(x)}}\right)

Literatur

R. G. Buschman: Identities involving products of number-theoretic functions. In: Proc. Amer. Math. Soc. Band 25, 1970, S. 307–309 (MR0262190).
Robert Breusch: Another proof of the prime number theorem. In: Duke Math. J. 1954, S. 49–53 (MR0068567).
P. Erdős: On a new method in elementary number theory which leads to an elementary proof of the prime number theorem. In: Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. Band 35, 1949, S. 374–384 (MR0029411).
G. J. O. Jameson: The Prime Number Theorem (= London Mathematical Society Student Texts. Band 53). Cambridge University Press, Cambridge 2003, ISBN 978-0-521-81411-9 (Reprinted 2004).
Melvyn B. Nathanson: Elementary Methods in Number Theory (= Graduate Texts in Mathematics. Band 195). Springer-Verlag, New York, Berlin, Heidelberg 2000, ISBN 0-387-98912-9.
Harald Scheid: Zahlentheorie. 3. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg, Berlin 2003, ISBN 3-8274-1365-6.
Atle Selberg: An elementary proof of the prime-number theorem. In: Ann. of Math. (2) 50 (1949), 305–313. Band 50, 1949, S. 305–313 (MR0029410).
T. Tatuzawa, K. Iseki: On Selberg's elementary proof of the prime-number theorem. In: Proc. Japan Acad. Band 27, 1951, S. 340–342 (MR0046382).
Ernst Trost: Primzahlen (= Elemente der Mathematik vom höheren Standpunkt au. Band II). Birkhäuser Verlag, Basel, Stuttgart 1968 (MR0058630).

Einzelnachweise

↑ G. J. O. Jameson: The Prime Number Theorem. 2004, S. 206–222
↑ ^a ^b G. J. O. Jameson: The Prime Number Theorem. 2004, S. 214 ff.
↑ G. J. O. Jameson: The Prime Number Theorem. 2004, S. 207, S. 214–221
↑ Harald Scheid: Zahlentheorie. 2003, S. 339–349
↑ Ernst Trost: Primzahlen. 1953, S. 66 ff.
↑ Melvyn B. Nathanson: Elementary Methods in Number Theory. 2000, S. 293 ff.
↑ G. J. O. Jameson: The Prime Number Theorem. 2004, S. 214–216
↑ Harald Scheid: Zahlentheorie. 2003, S. 341–343

Anmerkungen

↑ Unter einem elementaren Beweis des Primzahlsatzes versteht man – in Anschluss an Tschebyscheff – einen Beweis, der ohne die Methoden der Funktionentheorie und insbesondere ohne die Anwendung der komplexen riemannschen Zetafunktion auskommt.
↑ Im Weiteren verweist für eine reelle Zahl $x\geq 1$ die Schreibung $\sum _{n\leq x}$ in verkürzter Form auf die Summation $\sum _{n\in \mathbb {N} \;{\text{und}}\;1\leq n\leq x}$ . Hat man hier anstelle des Buchstabens $n$ den Buchstaben $p$ , so wird über alle Primzahlen $p\leq x$ summiert. Steht indes unter dem Summenzeichen $pq\leq x$ , so verläuft die Summation über alle geordneten Paare $(p,q)$ von Primzahlen, deren Produkt $pq$ die reelle Zahl $x$ nicht übersteigt.
↑ Die hiesige selbergschen Formel ist eine andere als die (ebenfalls auf Atle Selberg zurückgehende) selbergsche Spurformel!
↑ Die ersten zwei elementaren Beweise des Primzahlsatzes wurden von Atle Selberg selbst und von dem ungarischen Mathematiker Paul Erdős in 1948 gefunden und in 1949 publiziert.
↑ Vermöge dieser Version gelang Paul Erdős in 1948 der Beweis, dass die Primzahlfolge $\left(p_{n}\right)_{n=1,2,3,\ldots }$ die Grenzwertbeziehung $\lim _{n\to \infty }\left({\frac {p_{n+1}}{p_{n}}}\right)=1$ erfüllt. (Siehe Melvyn B. Nathanson: Elementary Methods in Number Theory. 2000, S. 321–322!)

[GJOJ-001-1] G. J. O. Jameson: The Prime Number Theorem. 2004, S. 206–222

[GJOJ-002-3] G. J. O. Jameson: The Prime Number Theorem. 2004, S. 214 ff.

[GJOJ-003-7] G. J. O. Jameson: The Prime Number Theorem. 2004, S. 207, S. 214–221

[HS-001-8] Harald Scheid: Zahlentheorie. 2003, S. 339–349

[ET-001-9] Ernst Trost: Primzahlen. 1953, S. 66 ff.

[MBN-001-10] Melvyn B. Nathanson: Elementary Methods in Number Theory. 2000, S. 293 ff.

[GJOJ-004-11] G. J. O. Jameson: The Prime Number Theorem. 2004, S. 214–216

[HS-002-12] Harald Scheid: Zahlentheorie. 2003, S. 341–343

[2] Unter einem elementaren Beweis des Primzahlsatzes versteht man – in Anschluss an Tschebyscheff – einen Beweis, der ohne die Methoden der Funktionentheorie und insbesondere ohne die Anwendung der komplexen riemannschen Zetafunktion auskommt.

[4] Im Weiteren verweist für eine reelle Zahl $x\geq 1$ die Schreibung $\sum _{n\leq x}$ in verkürzter Form auf die Summation $\sum _{n\in \mathbb {N} \;{\text{und}}\;1\leq n\leq x}$ . Hat man hier anstelle des Buchstabens $n$ den Buchstaben $p$ , so wird über alle Primzahlen $p\leq x$ summiert. Steht indes unter dem Summenzeichen $pq\leq x$ , so verläuft die Summation über alle geordneten Paare $(p,q)$ von Primzahlen, deren Produkt $pq$ die reelle Zahl $x$ nicht übersteigt.

[5] Die hiesige selbergschen Formel ist eine andere als die (ebenfalls auf Atle Selberg zurückgehende) selbergsche Spurformel!

[6] Die ersten zwei elementaren Beweise des Primzahlsatzes wurden von Atle Selberg selbst und von dem ungarischen Mathematiker Paul Erdős in 1948 gefunden und in 1949 publiziert.

[13] Vermöge dieser Version gelang Paul Erdős in 1948 der Beweis, dass die Primzahlfolge $\left(p_{n}\right)_{n=1,2,3,\ldots }$ die Grenzwertbeziehung $\lim _{n\to \infty }\left({\frac {p_{n+1}}{p_{n}}}\right)=1$ erfüllt. (Siehe Melvyn B. Nathanson: Elementary Methods in Number Theory. 2000, S. 321–322!)

[1]

[A 1]

[2]

[A 2]

[A 3]

[A 4]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[A 5]