Shiftoperatoren (Shift-Operatoren, Verschiebeoperatoren, Verschiebungsoperatoren) werden im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis betrachtet. Beim unilateralen Shiftoperator (s. u.) handelt es sich um einen konkreten nichtnormalen Operator auf einem Hilbertraum. Dieser Operator hat viele Eigenschaften, zu denen es keine endlichdimensionale Entsprechung gibt.

Definition

Bearbeiten

Ein unendlichdimensionaler separabler Hilbertraum ist nach dem Satz von Fischer-Riesz isometrisch isomorph zu  , wobei   eine abzählbar unendliche Menge ist, zum Beispiel   oder  . Der Operator

 

heißt bilateraler Shiftoperator.

 

heißt unilateraler Shiftoperator. Die Bezeichnung Shiftoperator rührt daher, dass diese Operatoren die Folgenglieder um eine Indexposition verschieben. Beim bilateralen Shiftoperator sind Indizes auf beiden Seiten der Null betroffen, positive wie negative, beim unilateralen Shiftoperator nur die Indizes einer Seite, nämlich nur die positiven. In der mathematischen Literatur steht Shiftoperator, ohne weiteren Zusatz, in der Regel für den unilateralen Shiftoperator. Oft lässt man auch den Wortbestandteil Operator fort und spricht einfach vom Shift.

Fasst man   als Unterraum von   auf, indem man   mit   identifiziert, so sieht man, dass   ist, das heißt, der unilaterale Shiftoperator ist eine Einschränkung des bilateralen Shiftoperators.

Der bilaterale Shift

Bearbeiten

Der bilaterale Shift   ist ein unitärer Operator, die Umkehrung ist der adjungierte Operator

 .

Das Spektrum des bilateralen Shifts ist die gesamte Kreislinie, das heißt  . Kein Element des Spektrums ist ein Eigenwert.

Der unilaterale Shift

Bearbeiten

Der unilaterale Shift   ist eine Isometrie, die nicht surjektiv ist, denn das Bild ist die Menge aller Folgen aus  , deren erste Komponente 0 ist. Damit ist   ein injektiver linearer Operator, der nicht surjektiv ist; dies ist ein Phänomen, das in der Theorie der endlichdimensionalen Räume, das heißt in der linearen Algebra, nicht vorkommt.

Der adjungierte Operator ist

 .

Damit folgt sofort   und  , wobei letzteres für die Orthogonalprojektion auf das Bild von   steht. Insbesondere ist   nicht normal. Man kann sogar zeigen, dass der Shiftoperator von jedem unitären Operator genau den maximal möglichen Normabstand 2 hat.

Das Spektrum des Shiftoperators

Bearbeiten

Das Spektrum von   ist die volle Kreisscheibe:  . Keiner der Spektralpunkte ist ein Eigenwert. Die Spektralpunkte   mit   sind aber sogenannte approximative Eigenwerte, das heißt, es gibt eine Folge   von Vektoren mit Norm 1, so dass  . Für die inneren Spektralpunkte   mit   gilt das nicht.

Das Spektrum des adjungierten Operators   ist ebenfalls die volle Kreisscheibe und der Kreisrand besteht ebenfalls aus lauter approximativen Eigenwerten, die keine echten Eigenwerte sind. Die inneren Spektralpunkte   mit   sind sämtlich Eigenwerte von  . Die zugehörigen Eigenräume sind alle eindimensional, der Eigenraum zu   wird von   erzeugt.

Der Shiftoperator als Fredholm-Operator

Bearbeiten

Der Shiftoperator   ist ein Fredholm-Operator mit  . Daher ist das Bild   in der Calkin-Algebra unitär, was man aber auch ohne den Begriff des Fredholm-Operators den Formeln   und   entnimmt. Das Spektrum von   ist die Kreislinie.

Wold-Zerlegung

Bearbeiten

Ein stetiger linearer Operator   auf einem Hilbertraum H ist unitär äquivalent zum Shiftoperator, wenn es einen unitären Operator   gibt mit  . Ist   irgendein Operator auf  , so heißt ein Unterraum   invariant (bezüglich  ), falls  . Mit diesen Begriffen kann man nun alle Isometrien auf einem Hilbertraum beschreiben. Eine Isometrie ist im Wesentlichen eine direkte Summe aus einem unitären Operator und einigen Shiftoperatoren, genauer:

  • Ist   eine Isometrie auf einem Hilbertraum  , so zerfällt   in eine direkte Summe   invarianter Unterräume, so dass   unitär ist und jeder Operator   unitär äquivalent zum Shiftoperator ist.

Dabei kann   sein, das heißt, der unitäre Anteil der Isometrie verschwindet, aber auch   und somit  , dann ist die Isometrie unitär. Diese Darstellung einer Isometrie nennt man auch ihre Wold-Zerlegung oder Wold-von Neumann-Zerlegung (nach Herman Wold und John von Neumann).

Der Shiftoperator auf H2

Bearbeiten

Sei   die Kreislinie und   das auf 1 normierte Lebesgue-Maß auf  , das heißt das Bildmaß des Lebesgue-Maßes auf dem Einheitsintervall [0,1] unter der Abbildung  .  , der sogenannte Hardy-Raum, ist definiert als der von den Funktionen   erzeugte Unterraum im Hilbertraum  .

Man kann zeigen, dass die Multiplikation mit der Funktion   einen stetigen, linearen Operator auf   definiert. Da die Funktionen   eine Orthogonalbasis des Hardy-Raums bilden, ist dieser Operator unitär äquivalent zum Shiftoperator, und man bezeichnet ihn auch einfach als Shiftoperator. In dieser speziellen Darstellung des Shiftoperators erscheint der Shiftoperator als ein Multiplikationsoperator.