Cup-Produkt

mathematische Struktur
(Weitergeleitet von Signatur (Topologie))

Das Cup-Produkt bezeichnet in der Algebraischen Topologie eine multiplikative Struktur auf einer Kohomologie. Dadurch erhält man auf der Kohomologie eine Ringstruktur, die als Kohomologiering bezeichnet wird. Ein analoges Produkt für Homologien gibt es nicht.

Für topologische Räume und natürliche Zahlen definiert das Cup-Produkt ein Produkt

mit den Eigenschaften

(graduierte Kommutativität)
für alle stetigen Abbildungen (Natürlichkeit)
(Distributivität)
(Assoziativität).

Definition

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Im Folgenden werden drei Definitionen für das Cup-Produkt dargestellt. Die Definition des Cup-Produkts für die singuläre Kohomologie ist die allgemeinste der drei und umfasst die Definitionen für die De-Rham- und die simpliziale Kohomologie.

De-Rham-Kohomologie

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Diese Definition setzt voraus, dass   eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ist.

In der De-Rham-Kohomologie werden Kohomologieklassen durch Differentialformen repräsentiert. Für das äußere Produkt von Differentialformen   gilt die Leibniz-Regel  . Man kann deshalb das Cup-Produkt der von   und   repräsentierten Kohomologieklassen   durch

 

definieren und erhält wegen der Leibniz-Regel eine wohldefinierte Abbildung der Kohomologiegruppen.

Simpliziale Kohomologie

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Diese Definition setzt voraus, dass   ein Simplizialkomplex ist.

In der simplizialen Kohomologie werden Kohomologieklassen   durch Homomorphismen   repräsentiert, wobei   die  -te Kettengruppe, also die freie abelsche Gruppe über der Menge der  -Simplizes des Simplizialkomplexes   ist. Für einen  -Simplex   bezeichnen wir mit   bzw.   die von den ersten   bzw. letzten   Ecken aufgespannten Untersimplizes. Fūr zwei Homomorphismen  ,   definiert man   durch

 .

Diese Verknüpfung erfüllt die Leibniz-Regel  , man erhält also eine wohldefinierte Abbildung der Kohomologiegruppen, indem man das Cup-Produkt der Kohomologieklassen von   und   als die Kohomologieklasse von   definiert.

Singuläre Kohomologie

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Diese Definition funktioniert für beliebige topologische Räume, im Falle von differenzierbaren Mannigfaltigkeiten bzw. Simplizialkomplexen ist die so definierte Ringstruktur auf der singulären Kohomologie isomorph zu den oben definierten Ringstrukturen auf De-Rham- bzw. simplizialer Kohomologie.

Sei   ein Ring und   die singuläre Kohomologie mit Koeffizienten in  . Kohomologieklassen   werden durch Homomorphismen   repräsentiert, wobei   die  -te singuläre Kettengruppe, also die freie abelsche Gruppe über der Menge aller stetigen Abbildungen des Standard- -Simplexes   nach   ist. Man bezeichnet mit   beziehungsweise   die Inklusionen des Standard- - beziehungsweise  -Simplexes als „vordere  -dimensionale Seite“ beziehungsweise „hintere  -dimensionale Seite“ in den Standard- -Simplex. Für einen singulären  -Simplex   und Koketten  ,   definiert man

 .

Diese Verknüpfung erfüllt die Leibniz-Regel  , man erhält also eine wohldefinierte Abbildung der Kohomologiegruppen, indem man das Cup-Produkt der Kohomologieklassen von   und   als die Kohomologieklasse von   definiert.

Das Cup-Produkt definiert eine zusätzliche, multiplikative Struktur auf den Kohomologiegruppen. Man kann mit Hilfe dieser multiplikativen Struktur manchmal Räume unterscheiden, deren Kohomologiegruppen als (additive) abelsche Gruppen isomorph sind.

Schnittform und Signatur

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Für eine geschlossene, orientierbare  -dimensionale Mannigfaltigkeit   existiert ein Isomorphismus  . Das Cup-Produkt definiert somit eine symmetrische Bilinearform

 ,

die sogenannte Schnittform.

Die Signatur von   ist per Definition die Signatur dieser symmetrischen Bilinearform.[1] Der Hirzebruchsche Signatursatz besagt, dass man die Signatur als Polynom in den Pontrjagin-Klassen darstellen kann.[2]

Einfach zusammenhängende differenzierbare 4-Mannigfaltigkeiten werden bis auf Homöomorphie (aber nicht Diffeomorphie) durch ihre Schnittform klassifiziert. Für die Klassifikation einfach zusammenhängender topologischer 4-Mannigfaltigkeiten benötigt man neben der Schnittform noch die Kirby-Siebenmann-Invariante.[3]

Literatur

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Einzelnachweise

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  1. H. Weyl: Analisis situs combinatorio. In: Revista Matematica HispanoAmericana. 5, 1923, S. 390–432.
  2. Friedrich Hirzebruch: Neue topologische Methoden in der algebraischen Geometrie. In: Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. (N.F.), Heft 9. Springer-Verlag, Berlin/Göttingen/Heidelberg 1956, Kapitel 2.
  3. Michael Freedman: The topology of four-dimensional manifolds. In: J. Differential Geom. 17, no. 3, 1982, S. 357–453.