Bers-Schnitt

In der Mathematik sind Bers-Schnitte (engl. Bers slices) die Bilder gewisser Einbettungen des Teichmüller-Raums in den Raum der quasifuchsschen Gruppen. Sie haben oft eine fraktale Gestalt.

Bers-Schnitte und die mit ihrer Hilfe definierte skinning map spielen eine Rolle in vielen Beweisen der niedrig-dimensionalen Geometrie, zum Beispiel in Thurstons Beweis der Geometrisierung von Haken-Mannigfaltigkeiten.

Konstruktion

Sei $S$ eine geschlossene Fläche und $\Gamma$ die zugehörige Flächengruppe. Man bezeichnet mit ${\mathcal {T}}(\Gamma )$ den Teichmüller-Raum von $S$ und mit $QF(\Gamma )$ den Raum aller derjenigen Homomorphismen $\Gamma \to PSL(2,\mathbb {C} )$ , deren Bild eine quasifuchssche Gruppe ist.

Simultane Uniformisierung gibt eine Bijektion

QF(\Gamma )={\mathcal {T}}(\Gamma )\times {\mathcal {T}}(\Gamma )

.

Für ein fixiertes $X\in {\mathcal {T}}(\Gamma )$ heißt dann die

{\mathcal {T}}(\Gamma )\times \left\{X\right\}

entsprechende Teilmenge von $QF(\Gamma )$ der (zu $X$ gehörende) Bers-Schnitt.

Bers-Kompaktifizierung

Mittels der Einbettung von $QF(\Gamma )$ in den Modulraum $AH(\Gamma )$ der markierten hyperbolischen Mannigfaltigkeiten homotopieäquivalent zu $S\times \left[0,1\right]$ kann man den Bers-Schnitt in diesen Modulraum einbetten. Sein Bild ist relativ kompakt, seine Kompaktifizierung heißt Bers-Kompaktifizierung des Teichmüller-Raums.

Kerckhoff und Thurston haben bewiesen, dass die Wirkung der Abbildungsklassengruppe auf der Bers-Kompaktifizierung des Teichmüller-Raums nicht stetig ist. Insbesondere stimmt die Bers-Kompaktifizierung nicht mit Thurstons Kompaktifizierung des Teichmüller-Raums überein.

Skinning map

Für eine geometrisch endliche hyperbolische 3-Mannigfaltigkeit $M$ gibt ihr konformer Rand einen Punkt im Teichmüller-Raum ${\mathcal {T}}(\partial M)$ . Andererseits ist das Bild $\Gamma$ von $\pi _{1}\partial M\to \pi _{1}M$ eine quasifuchssche Gruppe und gibt somit einen Punkt in $QF(\Gamma )={\mathcal {T}}(\Gamma )\times {\mathcal {T}}(\Gamma )$ . Die so definierte Abbildung

{\mathcal {T}}(\Gamma )\to {\mathcal {T}}(\Gamma )\times {\mathcal {T}}(\Gamma )

ist auf der ersten Komponente die Identitätsabbildung, ist also von der Form

X\to (X,\sigma _{M}(X))

.

Die Abbildung

\sigma _{M}\colon {\mathcal {T}}(\Gamma )\to {\mathcal {T}}(\Gamma )

heißt skinning map.

Thurstons Bounded Image Theorem besagt, dass das Bild der skinning map endlichen Durchmesser hat. Es ist ein wesentlicher Schritt beim Beweis der Hyperbolisierung von Haken-Mannigfaltigkeiten.

Literatur

Lipman Bers: Uniformization, moduli, and Kleinian groups. Bull. London Math. Soc. 4 (1972), 257–300. pdf
Komori-Sugawa: Bers embedding of the Teichmüller space of a once-punctured torus. Conform. Geom. Dyn. 8 (2004), 115–142 pdf
Komori-Sugawa-Wada-Yamashita: Drawing Bers embeddings of the Teichmüller space of once-punctured tori. Experiment. Math. 15 (2006), no. 1, 51–60. pdf