Stabiles Yang-Mills-Higgs-Paar

Ein (schwach) stabiles Yang-Mills-Higgs-Paar ist im mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie und insbesondere der Yang-Mills-Theorie ein spezielles Yang-Mills-Higgs-Paar, um welches die Yang-Mills-Higgs-Wirkung positiv oder sogar strikt positiv gekrümmt ist. Yang-Mills-Higgs-Paare sind Lösungen der Yang-Mills-Higgs-Gleichungen oder äquivalent lokale Extrema der Krümmung beider Felder, also kritische Punkte der Yang-Mills-Higgs-Wirkung, und werden daher festgelegt durch eine verschwindende erste Ableitung einer Variation. (Schwach) stabile Yang-Mills-Higgs-Paare haben darüber hinaus eine positiv oder sogar strikt positiv gekrümmte Umgebung und werden daher festgelegt durch eine positive oder sogar strikt positive zweite Ableitung einer Variation.

Definition

Sei $G$ eine kompakte Lie-Gruppe mit Lie-Algebra ${\mathfrak {g}}$ und $E\twoheadrightarrow B$ ein $G$-Hauptfaserbündel, wobei $B$ eine kompakte orientierbare Riemannsche Mannigfaltigkeit mit Metrik $g$ und Volumenform $\operatorname {vol} _{g}$ ist. Sei $\operatorname {Ad} (E)=E\times _{G}{\mathfrak {g}}$ das adjungierte Bündel. $\Omega ^{1}(E,{\mathfrak {g}})\cong \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))$ ist der Raum der Zusammenhänge, welche entweder unter der adjungierten Darstellung $\operatorname {Ad}$ invariante Lie-Algebra-wertige oder vektorbündelwertige Differentialformen sind. Da der Hodge-Stern-Operator $\star$ mit der Metrik $g$ und der Volumenform $\operatorname {vol} _{g}$ auf der Basismannigfaltigkeit $B$ definiert ist, wird gewöhnlich der zweite Raum benutzt.

Die Yang-Mills-Higgs-Wirkung ist gegeben durch:

$\operatorname {YMH} \colon \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))\times \Gamma ^{\infty }(B,\operatorname {Ad} (E))\rightarrow \mathbb {R} ,\operatorname {YMH} (A,\Phi ):=\int _{B}\|F_{A}\|^{2}+\|\mathrm {d} _{A}\Phi \|^{2}\mathrm {d} \operatorname {vol} _{g}.$

Ein Yang-Mills-Higgs-Paar $A\in \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))$ und $\Phi \in \Gamma ^{\infty }(B,\operatorname {Ad} (E))$, also welche die Yang-Mills-Higgs-Gleichungen erfüllen, wird stabil genannt, wenn:

${\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}\operatorname {YMH} (\alpha (t),\varphi (t))\vert _{t=0}>0$

für alle glatte Familien $\alpha \colon (-\varepsilon ,\varepsilon )\rightarrow \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))$ mit $\alpha (0)=A$ und $\varphi \colon (-\varepsilon ,\varepsilon )\rightarrow \Gamma ^{\infty }(B,\operatorname {Ad} (E))$ mit $\varphi (0)=\Phi$ gilt. $A$ und $\Phi$ werden schwach stabil genannt, wenn $\geq 0$ gilt. Ein Yang-Mills-Higgs-Paar, welches nicht schwach stabil ist, wird instabil genannt. Zum Vergleich ist die Bedingung für ein Yang-Mills-Higgs-Paar gegeben durch:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\operatorname {YMH} (\alpha (t),\varphi (t))\vert _{t=0}=0.$

Eigenschaften

• Sei $(A,\Phi )$ ein stabiles Yang-Mills-Higgs-Paar auf $S^{n}$, dann gelten die folgenden Behauptungen:
  • Ist $n=4$, dann ist $A$ ein Yang-Mills-Zusammenhang ($\mathrm {d} _{A}\star F_{A}=0$) sowie $\mathrm {d} _{A}\Phi =0$ und $\|\Phi \|=1$.
  • Ist $n\geq 5$, dann ist $A$ flach ($F_{A}=0$) sowie $\mathrm {d} _{A}\Phi =0$ und $\|\Phi \|=1$.

Siehe auch

• Stabiler Yang-Mills-Zusammenhang

Weblinks

• stable Yang-Mills-Higgs pair auf nLab (englisch)